Как мы можем получить нормальное распределение как если диапазон значений нашей случайной величины ограничен?

Допустим, у нас есть случайная величина с диапазоном значений, ограниченных $a$ и $b$ , где $a$ - минимальное значение, а $b$ - максимальное значение.

Мне сказали , что в $n \to \infty$ , где $n$ нашего размера выборки, распределение выборки по средствам выборки является нормальным распределением. То есть, как мы увеличиваем $n$ мы становимся ближе и ближе к нормальному распределению, но фактический предел при $n \to \infty$ является равным для нормального распределения.

Однако не является ли это частью определения нормального распределения, которое оно должно расширять от $- \infty$ до $\infty$ ?

Если максимум нашего диапазона равен $b$ , то максимальное среднее значение выборки (независимо от размера выборки) будет равно $b$ , а минимальное среднее значение выборки равно $a$ .

Поэтому мне кажется, что даже если мы возьмем предел, когда приближается к бесконечности, наше распределение не является фактическим нормальным распределением, поскольку оно ограничено и . $n$ $a$ $b$

Что мне не хватает ?

normal-distribution sampling random-variable central-limit-theorem Джереми Рэдклифф
источник

Ответы:

Вот что вам не хватает. Асимптотическое распределение является не (образец среднего), но , где является средним . $\bar{X}_n$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ $\theta$ $X$

Пусть это случайные переменные, для которых и имеют среднее значение и дисперсию . Таким образом, имеет ограниченную поддержку. CLT сообщает, что $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

где - среднее значение выборки. Сейчас $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

При нижняя граница и верхняя граница стремятся к и соответственно, и, таким образом, при поддержка это именно вся настоящая линия. $n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

Всякий раз, когда мы используем CLT на практике, мы говорим , и это всегда будет приближением. $\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я думаю, что часть путаницы от неправильного толкования центральной предельной теоремы. Вы правы, что выборочное распределение среднего значения выборки равно

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

Однако распределение выборки является конечным свойством выборки. Как вы сказали, мы хотим, чтобы ; как только мы сделаем это, знак будет точным результатом. Однако, если мы допустим , у нас больше не будет в правой части (так как теперь ). Поэтому следующее утверждение неверно $n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

Здесь означает сходимость с точки зрения распределения. Мы хотим точно записать результат, чтобы не было справа. Здесь мы теперь используем свойства случайных величин, чтобы получить $\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

Чтобы увидеть, как работает алгебра, посмотрите ответ здесь .

Greenparker
источник

Спасибо. Я понимаю вашу алгебру неравенства, но у меня все еще есть некоторая путаница в отношении вашего первого абзаца: «Асимптотическое распределение имеет не (среднее значение выборки), а ... ". Я думал, что CLT сказал, что выборочное распределение выборки означает, что приближается к нормальному распределению как , и я думал, что - это RV, который принимает все возможные значения выборок размера . Откуда берется ? Почему нас интересует это распределение, а не распространение ?

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

Джереми Рэдклифф

(продолжение) Это касается нормализации распределения выборочных средств? Это откуда квадратный корень? Это связано с баллами?

Z

$Z$

Джереми Рэдклифф

@jeremyradcliff Я отредактировал свой ответ и включил ссылку, которая объясняет некоторые детали. Надеюсь, теперь это имеет больше смысла.

Greenparker

Большое спасибо, что нашли время для редактирования, ссылка, которую вы предоставили, именно то, что я искал. И вы правы, проблема была в том, что у меня были проблемы с согласованием конечного характера распределения выборки и того факта, что мы принимаем в .

n

$n$

\infty

$\infty$

Джереми Рэдклифф

Если вы имеете в виду центральную предельную теорему, обратите внимание, что один правильный способ записать это

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

при нормальных условиях ( - среднее значение и стандартное отклонение ). $\mu, \sigma$ $x_i$

С помощью этого формального определения вы сразу увидите, что левая часть может принимать значения для любого конечного диапазона при достаточно большом . $n$

Для помощи подключения к для неформальной идеи , что «среднее приближается к нормальному распределению при большом », мы должны понимать , что «приближается к нормальному распределению» означает , что прибудет ВПР в сколь угодно близко к более нормальному распределению , как становится большим. Но по мере того как становится большим, стандартное отклонение этого приближенного распределения уменьшается, поэтому вероятность экстремального хвоста аппроксимирующей нормали также становится равной 0. $n$ $n$ $n$

Например, предположим, что . Тогда вы можете использовать неформальное приближение, чтобы сказать, что $X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

Так что, хотя это верно, что для любого конечного , $n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

(подразумевается, что аппроксимация явно никогда не бывает идеальной), так как , $n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

Так что расхождение между фактическим распределением и приблизительным распределением будет исчезать, как должно произойти с приближениями.

Клифф AB
источник