Написание математического уравнения для многоуровневой модели смешанных эффектов

Вопрос CV

Я пытаюсь дать (а) подробное и краткое математическое представление (я) модели смешанных эффектов. Я использую lme4пакет в R. Каково правильное математическое представление для моей модели?

---

Данные, научный вопрос и код R

Мой набор данных состоит из видов в разных регионах. Я проверяю, изменяется ли распространенность вида во время, ведущее к вымиранию (вымирание не обязательно является постоянным; оно может быть повторно заселено), или после колонизации.

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

• Распространенность - это доля страт, занимаемых видом в регионе-году
• Время - это непрерывная переменная, которая указывает время до исчезновения или колонизации; это всегда позитивно
• Тип - это категориальная переменная с двумя уровнями. Эти два уровня - «-» и «+». Когда тип - - это колонизация (уровень по умолчанию). Когда тип +, это вымирание.
• Reg - это категориальная переменная с девятью уровнями, указывающая регион
• Spp - категориальная переменная; количество уровней варьируется между регионами и варьируется между 48 уровнями и 144 уровнями.

На словах: переменная ответа - распространенность (доля занятых слоев). Фиксированные эффекты включали 1) и перехват, 2) время от события и 3) взаимодействие между временем события и типом события (колонизация или вымирание). Каждый из этих 3 фиксированных эффектов варьировался случайным образом в разных регионах. Внутри региона каждый эффект варьировался случайным образом среди видов.

Я пытаюсь понять, как написать математическое уравнение для модели. Я думаю, что понимаю, что происходит в коде R (хотя, я уверен, у меня есть некоторые пробелы в знаниях, и, надеюсь, выписывание формального математического выражения улучшит мое понимание).

Я немного искал в Интернете и на этих форумах. Конечно, я нашел тонны полезной информации (и, возможно, я добавлю ссылки на некоторые из них в редактировании этого вопроса). Тем не менее, я не мог найти тот «Rosetta Stone» из R-кода, переведенный в математику (мне удобнее с кодом), который действительно помог бы мне подтвердить, что я правильно понял эти уравнения. На самом деле, я знаю, что уже есть некоторые пробелы, но мы вернемся к этому.

---

Моя попытка

Базовая форма модели смешанных эффектов в матричной записи (на мой взгляд):

$$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$$

$$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$$ Z= [ 1 I ( r 1 ) Δ t I ( r 1 ) Δ t + I ( r 1 ) … 1 I ( r 9 ) Δ t I ( r 9 ) Δ t + I ( r 9 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ $$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$$ $$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$$ ϵ∼N(0,Σ $$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$$ $$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$$

• Δ t Δ t $X$ - матрица дизайна для фиксированных эффектов, - время после колонизации ( ), а - время после исчезновения ( )$\Delta t$time$\Delta t_{+}$time:type
• $Z$ - матрица дизайна для случайных эффектов (уровень 1?), I () - функция индикатора, дающая 1, если выборка принадлежит назначенной области, и 0, в противном случае r индексируется, чтобы указать одну из девяти областей.
• $\beta$ и содержат параметры$\gamma$
• $\epsilon$ - это ошибки; Я не совсем уверен, как объяснить , хотя я понимаю, что одна из этих матриц дисперсии / ковариации будет выражать ковариации между наклонами и перехватами, например$\Sigma$

Предполагая, что все пока что ~ правильно, это означает, что я хорошо на высшем уровне. Однако объяснение видоспецифического изменения параметров, вложенного в каждый регион, поставило меня в тупик еще больше.

Но я взломал что-то, что может иметь смысл ...

Каждый из параметров в получен из линейной комбинации видоспецифичных предикторов и параметров в пределах региона. Для каждого региона есть 3 строки, соответствующие 3 переменным предиктора. Каждая может быть индивидуально выражена как$\gamma$$\gamma$

• $\gamma_{p,r} = U_{p,r} b_{p,r} + \eta_{p,r}$
  • где является расчетной матрицей, специфичной для области а предиктор , является матрицей 1 на S параметров для региона (богатство в области = , например, 48 или 144), и является матрицей ошибок$U_{p,r}$$r$$p$$b_{p,r}$$S$$\eta_{p,r}$

В частности, для данного региона каждый из будет:$\gamma_{p,r}$

$$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$$ $$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$$ $$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$$ $$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$$ $$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$$ $$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$$

Это будет повторяться для каждого региона. Затем , например . Хотя, возможно, вместо , есть еще одна буква, например , которая обычно используется.$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$$\epsilon$$\Sigma$$G$

---

Редактировать: другие вопросы и ответы, которые были несколько полезны

• Этот Q / A был хорош, но не выписывал вещи в полной матричной форме

Если я правильно понял код, почему бы просто не написать что-то вроде

$$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$$ с или, если первое уравнение слишком длинное, что-то вроде и $$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$$ $$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$$ $$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$$ с той же ковариационной структурой как указано выше? Он показывает вложенную структуру данных, а также то, какие коэффициенты различаются на разных уровнях.