Является ли сумма дискретной и непрерывной случайной величины непрерывной или смешанной?

Если - дискретное, а - непрерывная случайная величина, то что мы можем сказать о распределении ? Это непрерывное или смешанное? $X$ $Y$ $X+Y$

Как насчет продукта ? $XY$

self-study distributions random-variable user666
источник

Ответы:

Пусть принимает значения с дискретным распределением , где представляет собой счетное множество, а принимает значения в с плотностью и CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Пусть . Мы имеем $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$ которые могут быть дифференцированы , чтобы получить функцию плотности для

, заданной

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Теперь пусть и предположим, что . Тогда $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$ который снова можно дифференцировать для получения функции плотности.

Однако если , то , что показывает, что в этом случае имеет атом в 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

Йорис Биркенс
источник

$X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

$\delta$

$Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

Родриго де Азеведо
источник

Почему отрицательный голос?

Родриго де Азеведо

Да, мне также любопытно понизить голосование

Яир Даон

X

$X$

Y

$Y$

@whuber Я согласен с (б). Тем не менее, говорят, что дискретный RV "можно рассматривать как ...", поэтому я думаю, что это добавляет интересный взгляд.

Яир Даон

Вот почему я написал, что ваш ответ вводит в заблуждение. Поскольку вопрос касается различия между дискретным и непрерывным распределением - и это различие является вопросом математического определения, а не «вкуса», ваши попытки перепутать их, вероятно, будут менее чем полезными.

whuber

$X$ $Y$

Редактировать: я предполагаю, что «непрерывный» означает «иметь PDF». Если вместо этого подразумевается, что непрерывный означает безатомный, доказательство аналогично; просто замените «нулевое множество Лебега» на «одноэлементное множество» в следующем.

$X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

$P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

Майк Эрнест
источник