Вероятность рождения в високосный день?

Учитывая, что сегодня високосный день, кто-нибудь знает вероятность рождения в високосный день?

Конечно. Смотрите здесь для более подробного объяснения: http://www.public.iastate.edu/~mlamias/LeapYear.pdf .

Но, по сути, автор приходит к выводу: «За 2 тысячелетия существует 485 високосных лет. Таким образом, за 2 тысячелетия насчитывается полных дней. Из этих дней 29 февраля происходит в 485 из них (високосные годы), поэтому вероятность составляет "$485(366) + (2000-485)(365)= 730485$$485/730485=0.0006639424$

Чтобы точно предсказать эту вероятность, используя статистику, было бы полезно знать, где произошло рождение.

На этой странице http://chmullig.com/2012/06/births-by-day-of-year/ имеется график, показывающий подмножество числа рождений в день (умножение 29-го на 4, что неверно и нежелательно на этот вопрос, но он также ссылается на исходные данные и дает приблизительное представление о том, что вы можете ожидать) в Соединенных Штатах. Я предположил бы, что эта кривая не верна для других стран, особенно для других континентов. В частности, южное полушарие и экваториальная область могут демонстрировать существенный вывод из этих результатов - при условии, что климат является определяющим фактором.

Кроме того, существует проблема «выборного рождения» (затронутая авторами http://bmjopen.bmj.com/content/3/8/e002920.full ) - в более бедных регионах земного шара я бы ожидал другого Распределение рождений просто потому, что (не экстренные) кесарево сечение или искусственные роды встречаются реже, чем в развитых странах. Это искажает окончательное распределение рождений.

Используя американские данные, предполагая, что ~ 71 миллион рождений (приблизительное среднее значение * 366) и 46 000 рождений 29 февраля, без учета распределения високосных лет в данных, поскольку точный период не указан, я получаю вероятность около ~ 0,000648. Это немного ниже значения, которое можно было бы ожидать при равномерном распределении рождений, и, следовательно, в соответствии с общим впечатлением от графика.

Я оставлю критерий значимости этой грубой оценки мотивированному читателю. Но, учитывая, что 29-е (хотя и не исправленное - 2000 год вносит в данные смещение ниже среднего) баллы низкие даже для и без того низких февральских стандартов, я предполагаю относительно высокую уверенность в том, что нулевой гипофиз с равным распределением можно отклонить.

Я думаю, что ответ на этот вопрос может быть только эмпирическим. Любой теоретический ответ был бы ошибочным без учета явлений выбора дня рождения, сезонности и т. Д. С этими вещами невозможно теоретически справиться.

Данные о днях рождения трудно найти в США по соображениям конфиденциальности. Там один анонимный набор данных здесь . Это из страховых заявок в США. Отличие от других отчетов, таких как популярная часто цитируемая статья в Нью-Йорк Таймсе , состоит в том, что в ней перечисляется частота рождений по дате, а не просто ранжирование дней в году. Слабым местом, конечно, является смещение выборки, поскольку оно исходит от страховки: незастрахованные люди не включены и т. Д.

Согласно данным, на 29 февраля было 325 рождений из общего числа 481040. По данным Роя Мерфи , выборка охватывает период с 1981 по 1994 год. Она включает 3 високосных года из общего числа 14 лет. Без каких-либо корректировок вероятность будет составлять 0,0675% от рождения 29 февраля между 1981 и 1994 годами.

Вы можете отрегулировать вероятность, учтя частоту високосных лет, которая близка к 1/4 ( не совсем точно ), например, умножив это число на чтобы получить оценку 0,079%. Здесь, условная вероятность о рождении на 29 февраля в високосный год связан с наблюдаемой частотой по частоте високосных лет в образце: где - количество лет в выборке, а - общая частота рождений.$14/12$$p$$F_o=325$$f_L=3$

Как правило, вероятность високосных лет составляет , следовательно, долгосрочная средняя вероятность 29 февраля: $p_L\approx 1/4$$P_L$

Возможно, вас заинтересует условная вероятность рождения 29 февраля, если вы родились в високосный год: $p$

Таким образом, связь между и основана на некоторой паре предположений, например, что вероятность рождения в каком-либо конкретном году одинакова и не изменяется.$P_L$$p$

Конечно, эта дискуссия была ориентирована на США. Кто знает, каковы закономерности в других странах.

ОБНОВЛЕНИЕ: Мы автоматически предположили, что OP - григорианский календарь. Это становится еще интереснее, если учесть разные календари, такие как лунный календарь Хиджры , где високосные годы происходят каждые 30 лет или около того.

ОБНОВЛЕНИЕ 2:

Что удивительно, так это то, что предполагаемая вероятность приводит к ожидаемому числу дней рождения 29 февраля для этой выборки: . Это ниже, чем 1 января и 25 декабря, что соответствует приведенному выше рейтингу NYT! Они не описывают источник данных, ссылаясь только на них , но они либо одинаковы, либо результаты являются надежными.$p$$F\cdot p=1,527$Amitabh Chandra, Harvard University

Теперь, насколько вероятно, что эти очень специфические дни в григорианском календаре: 1 января, 25 декабря и 29 декабря будут случайными, как самые популярные дни рождения? Я говорю, что это очень маловероятно случайное явление. Следовательно, еще интереснее увидеть, что происходит в других календарях, таких как хиджры.

ОБНОВЛЕНИЕ 3:

Обратите внимание, что оба выше, чем наивные теоретические оценки:$P_L,p$

ОБНОВЛЕНИЕ 4:

Бен Миллвуд отметил, что распределение рождений по дням года неравномерно. Можем ли мы проверить это утверждение? Используя мой набор данных, мы можем запустить test для теоретического распределения с нулевой гипотезой о том, что распределение является равномерным. Результатом является отклонение, то есть распределение не кажется равномерным.$\chi^2$

Теоретическое распределение построено так. Мы предполагаем, что частота рождений одинакова во всех календарных днях, то есть в 14 лет через дня. Затем мы сворачиваем дни в дни года, а это 366. Очевидно, что встречались только 3 високосных дня и 14 не високосных. Ниже мой код MATLAB и график распространения для сравнения теоретических и эмпирических.$14*365+3$

d=[0101 1482
...
1231 1352];
%%
tc = sum(d(:,2)); % total obs

idL = 60; % index of Feb 29

% theor frequency, assuming uniform
ny = 1994 - 1981 + 1; % num of years
nL = 3; % # of leap years: 1984, 1988, 1992
nd = 365*ny + nL; % total # of days

fc = tc/nd; % expected freq for calendar date in sample
td = ones(366,1)*fc*ny; % roll the dates into day of year
td(idL) = fc*nL;

fprintf(1,'non-leap day expected freq: %f\n',td(end))
fprintf(1,'leap day expected freq: %f\n',td(idL))
fprintf(1,'non-leap day average freq: %f\n',mean(d([1:idL-1 idL+1:end],2)))
fprintf(1,'non-leap day freq std dev: %f\n',std(d([1:idL-1 idL+1:end],2)))
fprintf(1,'leap day observed freq: %f\n',d(idL,2))

% plots
bar(d(:,2))
hold on
plot(td,'r')
legend('empirical','theoretical')
title('Distribution of birth dates 1981-1994')
set(gca,'XTick',1:30:366)
set(gca,'XTickLabels',[num2str(floor(d(1:30:366,1)/100)) repmat('/',13,1) num2str(rem(d(1:30:366,1),100))])
grid on

% chi^2 test
[h p]=chi2gof(d(:,2),'Expected',td)

ВЫХОД:

non-leap day expected freq: 1317.144534
leap day expected freq: 282.245257
non-leap day average freq: 1317.027397
non-leap day freq std dev: 69.960227
leap day observed freq: 325.000000

h =

     1


p =

     0

Обложка моей любимой книги когда-либо содержит некоторые весьма важные доказательства против предположения о равномерном распределении рождений по датам. В частности, у рождений в США с 1970 года есть несколько тенденций, наложенных друг на друга: длинная, многолетняя тенденция, непериодическая тенденция, тенденции дня недели, тенденции дня года, тенденции праздника (потому что такие процедуры, как кесарево сечение раздел позволяет эффективно планировать дату рождения, а врачи часто не делают этого в праздничные дни). В результате вероятность рождения в случайно выбранный день в году неодинакова, и поскольку коэффициент рождаемости варьируется в зависимости от года, также не все годы одинаково вероятны.

Это также свидетельствует о том, что решение Asksal, хотя и является очень сильным соперником, также является неполным. Небольшое количество високосных дней будет «загрязнена» всеми от эффектов при игре здесь, поэтому оценка Asksal является также захват (совершенно случайно) эффект день-неделю и долгосрочных тенденций , наряду с 29 февраля эффект. Какие эффекты являются и не подходят для включения, неясно определены вашим вопросом.

И этот анализ имеет отношение только к США, демографические тенденции которых могут сильно отличаться от других стран или групп населения. Например, уровень рождаемости в Японии снижался в течение десятилетий. Уровень рождаемости в Китае регулируется государством, что имеет определенные последствия для гендерного состава страны и, следовательно, уровня рождаемости в последующих поколениях.

Аналогичным образом, анализ Гельмана описывает только несколько последних десятилетий, и не обязательно ясно, что это даже эпоха интереса к вашему вопросу.

Для тех, кто в восторге от такого рода вещей, материал в обложке подробно обсуждается в главе о гауссовских процессах.

29 февраля - число, которое встречается каждый год, кратное 4 .

Однако годы, кратные 100, но не относящиеся к 400, не считаются високосными (например, 1900 год не является високосным, а 2000 или 1600 -). Таким образом, в настоящее время это один и тот же шаблон каждые 400 лет.

Итак, давайте посчитаем на интервале [0; 400 [ :

На 400-летний период существует ровно 4 x 25 = 100 лет, кратных 4 . Но мы должны вычесть 3 (годы, кратные 100, но не 400) из 100, и мы получим 100 - 3 = 97 лет.

Теперь мы должны умножить 97 на 366, 97 x 366 = 35502 (количество дней в високосном году в период 400 лет), осталось (365 x (400-97)) = 110 595 (количество дней, которые не т в високосный год в период 400 лет).

Тогда нам просто нужно сложить эти два числа, чтобы узнать общее количество дней за 400 лет: 110 595 + 35502 = 146 097 .

В завершение наша вероятность - это число 29 февраля за 400-летний период, поэтому 97, учитывая, что существует 97 високосных лет, деленных на общее количество дней нашего интервала:

p = 97/146097 ≈ 0,0006639424492

Надеюсь, что это правильно и ясно.

Я полагаю, что здесь смешиваются два вопроса. Один из них: «Какова вероятность того, что какой-либо день будет 29 февраля?». Второй (и тот, который фактически спросил): «Какова вероятность рождения в високосный день?»

Подход простого подсчета дней, кажется, вводит в заблуждение, как указывает Аксакал. Подсчет дней и вычисление частоты 29-го февраля затрагивает вопрос: «Какова вероятность того, что какой-либо день является 29-го февраля?» (Представьте, что вы просыпаетесь после комы, не зная, какой сегодня день. Вероятность того, что он 29 февраля, как указано выше, ).$p = \frac{97}{146097}\approx 0,00066394$

После ответа Аксакала вероятность может быть основана на эмпирических исследованиях распределения рождений по дням года. Различные наборы данных будут приводить к разным выводам (например, из-за влияния сезонности, долгосрочных тенденций рождаемости, культурных различий). Аксакал указал на исследование (один комментарий: для учета непредставительного количества високосного года в упомянутых данных (т. ) по сравнению с долгосрочной частотой появления високосного года (т. Е. ) вам нужно было бы умножить частоту рождения 29 февраля из выборки на ).$\frac{3}{14}$$\frac{97}{400}$$\frac{97}{400}\cdot\frac{14}{3} = \frac{679}{600} \approx 1.131667$

Наконец, существует третье возможное толкование вопроса, которое, я считаю, не было задумано: «Какова вероятность рождения конкретного человека в високосный день?» Ну, для любого, кто уже родился, это легко. Это либо либо . Для тех, кто не родился, но уже забеременел, его также можно оценить с помощью эмпирических исследований продолжительности беременности (см. Обзор в Википедии ). Для тех, кто еще не зачат, см. Выше.$0$$1$

Я заметил, что большинство приведенных выше ответов решают эту проблему путем расчета количества високосных дней в конкретном периоде. Существует более простой способ получить ответ на 100% точно по определению:

Мы используем високосные годы, чтобы скорректировать обычный (365 дней) календарь на средний тропический год (то есть средний солнечный год). Средний тропический год «это время, которое требуется Солнцу, чтобы вернуться в то же положение в круговороте сезонов, которое видно с Земли» (Википедия). Тропический год меняется незначительно, но средний (средний) тропический год - О 365.24667.

Если високосные дни верны, то вероятность того, что случайно выбранный день будет високосным, составляет ((тропический год) - (не високосный год)) / тропический год

Подводя примерное число, которое мы имеем, это (365.24667-365) /365.24667, или 0,24667 / 365.24667, или 675 на миллион (0,0675%).

Это, однако, для случайно выбранного дня. Я полагаю, что это существенно искажено родителями, которые предпочитают не объяснять своим детям: «Ваш фактический день рождения наступает только раз в 4 года».

Я спросил свою сестру, чей день рождения 29 февраля, и она сказала: «Результатом моего собственного эмпирического исследования было то, что это 1,00, очевидно».