Я продолжаю читать в экономических журналах о конкретном результате, используемом в случайных полезных моделях. Одна из версий результата: if Gumbel ( , то:
где - постоянная Эйлера- Машерони . Я проверил, что это имеет смысл, используя R, и это так. CDF для распределения Gumbel :
Я пытаюсь найти подтверждение этому, но у меня ничего не получилось. Я пытался доказать это сам, но я не могу пройти определенный шаг.
Кто-нибудь может указать мне на доказательство этого? Если нет, возможно, я смогу опубликовать свои попытки доказать, где я застрял.
expected-value
gumbel
Джейсон
источник
источник
Ответы:
Я ценю работу, представленную в вашем ответе: спасибо за этот вклад. Цель этого поста - предоставить более простую демонстрацию. Ценность простоты - это откровение: мы можем легко получить все распределение максимума, а не только его ожидание.
Проигнорируйте , впитав его в и предположив, что у всех есть распределение Gumbel . (То есть замените каждый на и измените на .) Это не меняет случайную переменнуюδ i ϵ i ( 0 , 1 ) ϵ i ϵ i - μ δ i δ i + μμ δi ϵi (0,1) ϵi ϵi−μ δi δi+μ
Независимость от подразумевает для всех действительных что является произведением индивидуальных шансов . Взятие логов и применение базовых свойств экспоненциальной доходности х Рг ( х ≤ х ) Pr ( δ я + ε я ≤ х )ϵi x Pr(X≤x) Pr(δi+ϵi≤x)
Это логарифм CDF распределения Гумбеля с параметром местоположения То есть,λ=log∑ieδi.
Это гораздо больше информации, чем запрошено. Среднее такого распределения является влекущие за собойγ+λ,
QED.
источник
Оказывается, в статье Econometrica, написанной Кеннетом Смоллом и Харви Розеном, это было показано в 1981 году, но в очень специализированном контексте, поэтому результат требует много исследований, не говоря уже о некоторой подготовке по экономике. Я решил доказать это способом, который я нахожу более доступным.
Доказательство : пусть будет числом альтернатив. В зависимости от значений вектора , функция принимает разные значения. Сначала сфокусируйтесь на значениях таких как . То есть мы будем интегрировать по набору :& epsi ; = { & epsi ; 1 , . , , , Ε J } макс I ( δ я + ε я ) е макс I ( δ я + ε я ) = δ 1 + ε 1 δ 1 + ε 1 М 1 ≡ { ε : δ 1 + ε 1 > δ J + ε JJ ϵ={ϵ1,...,ϵJ} maxi(δi+ϵi) ϵ maxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1 δ1+ϵ1 M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Вышеупомянутый термин является первым из таких терминов в . В частности,J E[maxi(δi+ϵi)]
Теперь мы применяем функциональную форму распределения Гумбеля. Это дает
где второй шаг происходит от сбора одного из возведенных в степень слагаемых в произведение вместе с тем фактом, что если .δj−δi=0 i=j
Теперь мы определяем и делаем замену , так что и . Обратите внимание, что когда приближается к бесконечности, приближается к 0, а когда приближается к отрицательной бесконечности, приближается к бесконечности.Di≡∑jeδj−δi x=Dieμ−ϵi dx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵi ϵi=μ−log(xDi) ϵi x ϵi x
Гамма-функция определяется как . Для значений которые являются положительными целыми числами, это эквивалентнотак что . Кроме того, известно, что константа Эйлера – Маскерони, удовлетворяетΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdx t Γ(t)=(t−1)! Γ(1)=0!=1 γ≈0.57722
Применение этих фактов дает
Тогда мы просуммировать получитьi
Напомним, что . Обратите внимание, что знакомые вероятности выбора являются инверсиями или, другими словами, . Также обратите внимание, что . Тогда у нас естьDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδi Pi=eδi∑jδj Di Pi=1/Di ∑iPi=1
источник