Ожидание максимума переменных iid Gumbel

12

Я продолжаю читать в экономических журналах о конкретном результате, используемом в случайных полезных моделях. Одна из версий результата: if Gumbel ( , то:ϵiiid,μ,1),i

E[maxi(δi+ϵi)]=μ+γ+ln(iexp{δi}),

где γ0.52277 - постоянная Эйлера- Машерони . Я проверил, что это имеет смысл, используя R, и это так. CDF для распределения Gumbel (μ,1) :

G(ϵi)=exp(exp((ϵiμ)))

Я пытаюсь найти подтверждение этому, но у меня ничего не получилось. Я пытался доказать это сам, но я не могу пройти определенный шаг.

Кто-нибудь может указать мне на доказательство этого? Если нет, возможно, я смогу опубликовать свои попытки доказать, где я застрял.

Джейсон
источник
Связано: stats.stackexchange.com/questions/57506/…
Адриан

Ответы:

7

Я ценю работу, представленную в вашем ответе: спасибо за этот вклад. Цель этого поста - предоставить более простую демонстрацию. Ценность простоты - это откровение: мы можем легко получить все распределение максимума, а не только его ожидание.


Проигнорируйте , впитав его в и предположив, что у всех есть распределение Gumbel . (То есть замените каждый на и измените на .) Это не меняет случайную переменнуюδ i ϵ i ( 0 , 1 ) ϵ i ϵ i - μ δ i δ i + μμδiϵi(0,1)ϵiϵiμδiδi+μ

X=maxi(δi+ϵi)=maxi((δi+μ)+(ϵiμ)).

Независимость от подразумевает для всех действительных что является произведением индивидуальных шансов . Взятие логов и применение базовых свойств экспоненциальной доходности х Рг ( х х ) Pr ( δ я + ε ях )ϵixPr(Xx)Pr(δi+ϵix)

logPr(Xx)=logiPr(δi+ϵix)=ilogPr(ϵixδi)=ieδiex=exp(x+logieδi).

Это логарифм CDF распределения Гумбеля с параметром местоположения То есть,λ=logieδi.

( log i e δ i , 1 )X имеет распределение Гумбеля .(logieδi,1)

Это гораздо больше информации, чем запрошено. Среднее такого распределения является влекущие за собойγ+λ,

E[X]=γ+logieδi,

QED.

Whuber
источник
12

Оказывается, в статье Econometrica, написанной Кеннетом Смоллом и Харви Розеном, это было показано в 1981 году, но в очень специализированном контексте, поэтому результат требует много исследований, не говоря уже о некоторой подготовке по экономике. Я решил доказать это способом, который я нахожу более доступным.

Доказательство : пусть будет числом альтернатив. В зависимости от значений вектора , функция принимает разные значения. Сначала сфокусируйтесь на значениях таких как . То есть мы будем интегрировать по набору :& epsi ; = { & epsi ; 1 , . , , , Ε J } макс I ( δ я + ε я ) е макс I ( δ я + ε я ) = δ 1 + ε 1 δ 1 + ε 1 М 1{ ε : δ 1 + ε 1 > δ J + ε JJϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j1}

EϵM1[maxi(δi+ϵi)]=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[δ1+ϵ1δ2...δ1+ϵ1δJf(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(δ1+ϵ1δ2f(ϵ2)dϵ2)...(δ1+ϵ1δJf(ϵJ)dϵJ)dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1δ2)...F(δ1+ϵ1δJ)dϵ1

Вышеупомянутый термин является первым из таких терминов в . В частности,JE[maxi(δi+ϵi)]

E[maxi(δi+ϵi)]=iEϵMi[maxi(δi+ϵi)].

Теперь мы применяем функциональную форму распределения Гумбеля. Это дает

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=(δi+ϵi)eμϵieeμϵijieeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵijeeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{jeμϵi+δjδi}dϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{eμϵijeδjδi}dϵi

где второй шаг происходит от сбора одного из возведенных в степень слагаемых в произведение вместе с тем фактом, что если .δjδi=0i=j

Теперь мы определяем и делаем замену , так что и . Обратите внимание, что когда приближается к бесконечности, приближается к 0, а когда приближается к отрицательной бесконечности, приближается к бесконечности. Dijeδjδix=Dieμϵidx=DieμϵidϵidxDi=eμϵidϵiϵi=μlog(xDi)ϵixϵix

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=0(δi+μlog[xDi])(1Di)exp{x}dx=1Di0(δi+μlog[xDi])exdx=δi+μDi0exdx1Di0log[x]exdx+log[Di]Di0exdx

Гамма-функция определяется как . Для значений которые являются положительными целыми числами, это эквивалентнотак что . Кроме того, известно, что константа Эйлера – Маскерони, удовлетворяетΓ(t)=0xt1exdxtΓ(t)=(t1)!Γ(1)=0!=1γ0.57722

γ=0log[x]exdx.

Применение этих фактов дает

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di

Тогда мы просуммировать получитьi

E[maxi(δi+ϵi)]=iδi+μ+γ+log[Di]Di

Напомним, что . Обратите внимание, что знакомые вероятности выбора являются инверсиями или, другими словами, . Также обратите внимание, что . Тогда у нас естьDi=jeδjδi=jeδjeδiPi=eδijδjDiPi=1/DiiPi=1

E[maxi(δi+ϵi)]=iPi(δi+μ+γ+log[Di])=(μ+γ)iPi+iPiδi+iPilog[Di]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδjeδi]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδj]iPilog[eδi]=μ+γ+iPiδi+log[jeδj]iPiiPiδi=μ+γ+log[jexp{δj}].
QED
Джейсон
источник
3
Я связал то, на что, на мой взгляд, ссылается статья, на самом деле не просматривая ее; пожалуйста исправьте если не так.
Дугал
@ Джейсон Знаете ли вы, как доказать, что это такое, когда максимум зависит от того, является ли максимум максимумом? Смотрите здесь вопрос, который не решен: stats.stackexchange.com/questions/260847/…
wolfsatthedoor