Случайные перекрывающиеся интервалы

Как найти аналитическое выражение в следующей задаче?$D(n,l,L)$

Я случайно выбрасываю «баров» длиной в интервал . «Бары» могут перекрываться. Я хотел бы найти среднюю общую длину интервала занятую хотя бы одним «баром».$n$$l$$[0,L]$$D$$[0,L]$

В пределе "низкой плотности" перекрытие должно быть незначительным, и . В «высокой плотности» предел, приближается . Но как я могу получить общее выражение для ? Это должно быть довольно фундаментальной статистической проблемой, но я не смог найти объяснительного решения на форумах.$D = n\cdot l$$D$$L$$D$

Любая помощь будет принята с благодарностью.

Обратите внимание, что столбцы выпадают действительно случайным (статистически независимым) друг от друга.

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

Вероятность того, что точка в будет занята одним выпавшим столбцом, равна$[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ .

Соответственно, вероятность быть пустым равна . Вероятность того, что заданная точка все еще пуста после выпавших баров, равна , и ее нужно занять$P_{e} = 1 - P_o$$n$$P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

для больших .$n$

Тогда средняя занятая длина в после случайных «стержней падает»$[x_0,x_0 + L]$$n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ .