Преобразование статистики заказов

$X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Я начал эту проблему, установив Тогда будет распределяться как а будет распределяться как Плотности можно легко найти как и $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ $(\frac{z}{a})^{2n}$ $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

Это где мне трудно знать, куда идти дальше, когда они рассчитаны. Я думаю, что это должно сделать что-то с преобразованием, но я не уверен ...

self-study data-transformation order-statistics Сьюзен
источник

Конечно, вы должны предположить, кроме того, что не только и , но также не зависят от . Учитывая это, вы думали о работе напрямую с ?

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i}

$X_i$

Y_{j}

$Y_j$

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$

whuber

@whuber Моя мысль из вашего комментария будет состоять в том, чтобы настроить преобразование, где я решу плотность n * log (Z )?

_{i}

$_i$

Сьюзен

Я немного переформатировал (особенно превратив и в и ), но если вам не нравится, как он есть, вы можете вернуться к предыдущей версии (нажав на ссылку «отредактировано <x> назад») выше моего граватара внизу вашего поста) и затем нажмите ссылку "откат" над вашей предыдущей версией.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

Glen_b

Сьюзен, ты, кажется, неправильно понял / неправильно понял вопрос. Вопрос ищет соотношение Знаменатель относится к : где - статистика максимального порядка s, а - статистика максимального порядка s. Другими словами, ищет min (maxX, maxY), а НЕ минимум всех s и s, поэтому вы не можете использовать свой трюк Z чтобы сгладить / объединить все значения X и Y. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

волки

В любом случае, и как отдельный вопрос, нет смысла (как вы это делали) вычислять плотность , а отдельно плотность , потому что статистика разных порядков не как правило, независимый Чтобы найти соотношение , нужно сначала найти совместный pdf из , если это было проблемой под рукой (чего нет).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

волки

Ответы:

Эта проблема может быть решена только из определений: единственный сложный расчет - это интеграл от монома.

Предварительные наблюдения

Работа Давайте с переменными и во всем : это не меняет , но это делает IID с Uniform распределения, устраняя все отвлекающие появлений в расчетах. Таким образом, мы можем принять без потери общности. $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Обратите внимание, что независимость и их равномерное распределение подразумевают, что для любого числа для которого , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

с идентичным результатом для . Для дальнейшего использования это позволяет нам вычислить $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Решение

Пусть будет положительным вещественным числом. Чтобы найти распределение , подставьте его определение и упростите полученное неравенство: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

Это событие разбивается на два равновероятных случая, в зависимости от того, является ли или меньшим из двух (и их пересечение с нулевой вероятностью может быть проигнорировано). Таким образом, нам нужно только вычислить вероятность одного из этих случаев (скажем, где меньше) и удвоить его. Так как , , что позволяет нам (при сдаче $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ играть роль) применять вычисления в предварительном разделе: $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

Вот что значит для распределение Exp . $Z_n$ $(1)$

Whuber
источник

Я нарисую решение, используя компьютерную алгебру, чтобы сделать все необходимое ...

Решение

Если - выборка размера на родительском , тогда pdf максимума выборки: $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ и аналогично для.

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Подход 1: Найти совместную pdf из $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Поскольку и независимы, объединенный pdf из 2 выборочных максимумов является просто произведением 2 pdf, скажем, : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Дано . Тогда cdf для- это: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

где я использую Probфункцию из пакета mathStatica для Mathematica для автоматизации. Дифференцирование cdf по дает pdf из как стандартную экспоненциальную. $z$ $Z_n$

Подход 2: Статистика заказов

Мы можем использовать статистику заказов, чтобы «обойти» механику необходимости иметь дело с функциями Max и Min.

Еще раз: Если - выборка размера в родительском , тогда pdf максимума выборки , скажем, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

Выборочные максимумы и являются всего лишь двумя независимыми чертежами из этого распределения ; т. е. статистика порядка и (в выборке размера 2) - это как раз то, что мы ищем: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

Объединенный PDF в выборке размером 2, скажем, , Имеет вид: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Дано . Тогда cdf для- это: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

Преимущество этого подхода состоит в том, что при вычислении вероятности больше не используются функции max / min, что может сделать вывод (особенно вручную) несколько проще для выражения.

Другой

Согласно моему комментарию выше, похоже, вы неправильно поняли вопрос ...

Нас просят найти:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

где знаменатель мин (Xmax, YMAX), ... не менее все в «с и » s. $X$ $Y$

wolfies
источник

Следуя вашему эскизу, я понимаю, как неправильно понял вопрос. Я понимаю, как рассчитать совместный pdf двух образцов максимума, но я все еще не уверен, как мы должны интерпретировать отношение макс / мин.

Сьюзен

Я добавил альтернативный вывод, используя статистику заказов, которая «обходит» максимум / мин.

волки

Если бы вы начали с журналов данных, Сьюзан, то вы бы смотрели на различия в статистике заказов, а не на отношения .

whuber

Я не уверен, что использование компьютерных формальных вычислений - лучший способ объяснить причину, по которой отношение является случайной величиной Exp (1).

Сиань

Хороший вопрос ... кроме того, что OP не спрашивает причину ... но показать, что это Exp [1]. Я также не уверен относительно того, является ли это домашним заданием (или заданием) ... и это на самом деле одно приятное преимущество использования компьютера: каждый обеспечивает шаги, которые нужно выполнить, проверяет результат, чтобы у каждого был правильный подход , но механика все еще оставлена на ОП. Было бы неплохо, чтобы кто-то изучил предложение @ whuber о том, чтобы брать логи с самого начала.

волки