Шансы стали проще

У меня возникли проблемы с пониманием шансов, и я хотел бы просто объяснить, как их интерпретировать.

Я нашел различные сообщения, связанные с коэффициентами, но большинство из них более сложны, чем то, что я пытаюсь понять. Вот пример того, как я интерпретирую шансы: если шансы события происходят 3 к 1, то событие будет происходить 3 раза за каждый 1 раз, когда это не происходит. Я не знаю, будет ли это толкование правильным. Таким образом, любые рекомендации и дополнительные примеры по интерпретации шансов будет принята с благодарностью.

В другой ветке от @gung есть гораздо более широкий ответ, в котором также рассматриваются связанные технические вопросы, такие как отношение шансов, но я собираюсь остановиться на обсуждаемой теме: как интерпретировать шансы и, в частности, формулировку «от до ». Как вопрос новичка, стоит подумать, как «шансы» выражаются в повседневной речи (особенно на языке ставок), а также то, что шансы значат для статистика, потому что расхождения между ними проблематичны для учащихся.$a$$b$

Для шансов, выраженных статистиком , ваше утверждение верно. Предположим, в сумке содержится четыре токена, из которых три а один - , и один токен выбирается случайным образом. Вероятность того, что выбранный маркер аквамарин 3 из 4 -х , то есть , часто читал «3 в 4». При одинаково вероятных результатах шансы на аквамарин будут рассчитываться как число благоприятных результатов (3), деленное на количество неблагоприятных результатов (1), которое равно , часто читается каккоричневый $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$$\color{brown}{\text{brown}}$$\frac{3}{4}$три в $\frac{3}{1} = 3$$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$или просто как число «три». В более общем смысле можно взять долю «благоприятных результатов по сравнению с неблагоприятными» и отменить (разделить) числитель и знаменатель на общее количество результатов, чтобы получить «вероятность благоприятного исхода по сравнению с вероятностью неблагоприятного», из которой маленькая алгебра дает:

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$$

Шансы, выраженные букмекерской конторой , обычно указываются либо как «шансы против», либо как «шансы на», и то, как они написаны, похоже, является распространенной причиной путаницы. В так называемых британских коэффициентах , дробных коэффициентах или традиционных коэффициентах коэффициенты для аквамарина будут записываться как "3/1 on" или "3-1 on", читать как . * Для игрока тот факт, что это «шансы на выигрыш», указывает на то, что ставка в 3 фунта стерлингов на аквамарин вернет 1 фунт прибыли в случае успеха (они фактически получают 4 фунта стерлингов, из которых 3 фунта стерлингов - это просто возврат первоначальной ставки), тогда как неудачная ставка приводит к потере ставки 3 фунта стерлингов. Мы видим, что это " честные шансы$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$«потому что у игрока есть три шанса получить 1 фунт стерлингов и один шанс потерять 3 ф. ст., поэтому в среднем нет ожидаемого выигрыша или проигрыша. Пока что небольшое расхождение:« шансы на »- это просто« шансы в пользу » статистиками.

Для событий с вероятностью 50%, таких как головы на броске монеты - два одинаково вероятных результата успеха или неудачи - статистик скажет, что шансы "один к одному", или просто тогда как честный букмекер даст дробные шансы 1/1 (читается как «четные»). Так что здесь тоже нет проблем; однако, когда вероятность падает ниже 50%, мы видим, что букмекер возобновляет цитирование большего числа в соотношении перед меньшим.$\frac{1}{1}$$1$

Рассмотрим гонку, в которой все четыре лошади (скажем, F oinavon , G regalach , M on Mome и T ipperary Tim ) с одинаковой вероятностью выиграют: тогда с точки зрения вероятностей , мы бы сказали, что у каждой был «1 в 4» или 0,25. шанс на победу. Каковы будут шансы на ставку, скажем, на Фойнавон? Существует только один благоприятный исход (победа для F) против трех неблагоприятных исходов (победа для G, M или T), поэтому статистик будет описывать шансы как "1 к 3" или численно как$\frac{1}{3}$, Однако букмекерская контора, использующая британские шансы, будет видеть шансы как «3 к 1 против» и записывать их как просто «3/1» или 3-1 »(оба читаются как« три к одному »; « против »неявно и идет негласное ). Для игрока, «шансы против» означает долю £ 1 вернет £ 3 прибыль , если успешно (они на самом деле получить £ 4, а £ 1 этого является возвращение первоначальной ставки) , тогда как в случае неудачи они потерять ставку в 1 фунт. У игрока есть три шанса потерять 1 фунт и 1 шанс получить 3 фунта, поэтому опять ожидаемая прибыль / убыток равна нулю, и шансы справедливы. К сожалению, «шансы против» (обычная форма шансов ) не соответствует статистике "шансы в пользу".

Каждая лошадь в нашей гипотетической гонке достигла славы, однажды выиграв Grand National с коэффициентом 100/1: так как это были высокие ("длинные") шансы против , они были " длинными выстрелами ", которые считались крайне маловероятными, а их покровители были щедро вознаграждается 100 фунтов стерлингов за каждый поставленный фунт. Если мы притворяемся, что шансы букмекеров были честными (что могло бы игнорировать оверлей букмекера или «vig» ), считалось, что существует 100 способов, которыми лошадь может проиграть при каждом способе победы лошади, поэтому подразумеваемая вероятность успеха было . Напротив, если статистик утверждал, что событие имело шансы «100 к 1»,$\frac{1}{101}$(с вероятностью ).$\frac{100}{101}$

Если какой-либо непрофессионал из вашей аудитории прибывает из страны, в которой букмекерские конторы используют дробные коэффициенты и регулярно цитируют их в СМИ (например, «Джереми Корбин намерен побить 100-1 коэффициентов, чтобы стать лидером лейбористской партии Великобритании», The Guardian , 11 сентября 2015; «11 миллионов к одному: четвероногие телята, родившиеся в Южной Австралии», Sydney Morning Herald , 30 июля 2015 г.), а затем цитирование шансов в форме « to » почти наверняка вызовет путаницу.$a$$b$

Я видел, как люди пробуют это, возможно, в убеждении, что «широкая публика больше знакома с шансами, чем с вероятностями», но статистики, разумные в отношении букмекерской конторы, и которые, следовательно, никогда не делали ставку в своей жизни, могут быть пойманы Удивительно, что популярная концепция шансов "неправильный путь". Если считается, что эта путаница перевешивает преимущества формулировки « к » (особенно из-за того, что четкие коэффициенты выражают соотношение благоприятных и неблагоприятных), то было бы лучше выразить «статистические шансы» в виде единого числа, чтобы различать они из дробных шансов букмекера. Перед тем, как представить статистические шансы такой аудитории, я бы хотя бы ознакомил их со следующими моментами:$a$$b$

• Коэффициенты статистики соответствуют «коэффициентам» букмекера. Если вы привыкли «шансы против», шансы статистиков могут показаться «неправильными». Например, «10 к 1» обозначает очень вероятное событие, а «1000 к 1» - чрезвычайно вероятное событие!
• Статистику не нужно ставить более высокое число первым, поэтому шансы, такие как «2 к 3», могут использоваться для указания «2 шансов на успех к 3 шансов на неудачу» (т. Е. После многих испытаний отношение успехов к неудачам должно быть около 2 : 3 и, следовательно, вероятность успеха ).$\frac{2}{5}$
• В то время как букмекеры предпочитают указывать коэффициенты как отношение целых чисел, ** статистики часто упрощают свои коэффициенты в форме «что-то к одному», даже если это вводит десятичную дробь (например, «5 к 2» становится «2,5 к 1») ,
• Статистик может не указывать «к одному» и заключать в кавычки одно число (например, шансы 3,5 означают «3,5 к 1» или «7 к 2», поэтому ожидается, что долгосрочное отношение успехов к неудачам будет равно 7: 2, из которого легко увидеть вероятность успеха ).$\frac{7}{9}$
• В этом масштабе шансы на ноль представляют невозможность; шансы между 0 и 1 указывают на вероятность меньше, чем четное; шансы 1 показывают 50% шанс; коэффициенты выше 1 указывают на то, что событие более вероятно, чем нет; определенное событие будет иметь бесконечные шансы.

Математически мы имеем

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$$

Даже этого может быть недостаточно, чтобы избежать путаницы. Десятичные коэффициенты , также известные как континентальные шансы или европейские шансы , стали более распространенными в эпоху азартных игр в Интернете, особенно для ставок в игре и обмена ставками, когда дробные шансы громоздки для отображения небольших быстрых изменений в подразумеваемых вероятностях. Европейские коэффициенты указывают на выплату за единицу, включая возврат ставки . Для ставки на аквамарин выигрышная ставка в £ 3 приносит прибыль в £ 1, поэтому каждая поставленная ставка в £ 1 будет приносить прибыль около £ 0,33 (при выплате £ 1,33). Таким образом, европейские коэффициенты на аквамарин составляют около2,00 4,00 Коэффициенты Европейский = $1.33$, За бросок монеты игрок, ставящий 1 фунт стерлингов, получает выплату в 2 фунта стерлингов (в случае успеха) или 0 фунтов стерлингов в противном случае, поэтому европейские шансы равны . При ставке в £ 1 на Foinavon игрок получает выигрыш в размере £ 4, поэтому шансы на победу в Европе составляют . Возможно, вы заметили, что европейские шансы равны предполагаемой вероятности успеха: чтобы шансы были справедливыми для ставки в £ 1, ожидаемая выплата (которая равна вероятности успеха, умноженной на выигрышную выплату) должна равняться £ 1 ставка, поэтому выигрышная выплата должна быть обратной вероятности. Так как мы находим$2.00$$4.00$$\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$$

Мы могли бы также вывести это из примечания (из-за европейских шансов, включая возврат доли в выплате).$\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$

Европейские шансы имеют несколько преимуществ для игрока. Сравнение двух дробных коэффициентов (попытка 8/15 против 4/7) включает в себя большие умственные способности, чем сравнение двух десятичных дробей. Небольшие изменения в подразумеваемой вероятности работают «гладко» для десятичной дроби, тогда как форма дроби может полностью измениться, поскольку требуется другой знаменатель. Вычислить выплату из выигрыша так же просто, как умножить ставку на европейские коэффициенты (например, выигрышная ставка в 300 евро с европейскими коэффициентами получает выплату в 450 евро, из которых 150 евро - прибыль). Взаимные отношения с подразумеваемой вероятностью особенно полезны для определения «ставок на ценность»: если игрок полагает, что истинная вероятность успеха по ставке с европейскими коэффициентами больше, чем ставка »$1.50$$6.00$$\frac{1}{6}$ , ставка хорошая, а ожидаемая прибыль игрока положительная.

Однако статистику сложнее объяснить математические шансы непрофессионалу, привыкшему к европейским шансов! Как и британские «шансы против», более высокие европейские шансы указывают на событие, которое считается менее вероятным ( для достоверности, для равного шанса, для невозможности). Хуже того, цифры не просто «неправильный путь», но полностью вводят в заблуждение: вся концепция соотношения благоприятных и неблагоприятных результатов потеряна. $1.00$$2.00$$\infty$

Этот ключ концептуального отношение будет сохранено в MoneyLine системе , используемой в США спортивных ставок, даже если он выглядит более сложным на первый взгляд. Положительные цифры указывают на прибыль (исключая возврат ставки) на выигрышной , по сути, это та же идея, что и «шансы против». Цифра +300 указывает на прибыль в на ставку в , что эквивалентно «3/1 [против]» в британской системе или «1 к 3» для статистики (ставка Фойнавона). Отрицательные цифры указывают на ставки, необходимую для получения прибыли в , что эквивалентно «коэффициентам на». Цифра -300 показывает, что ставка в составляет$\$100$$\$300$$\$100$$\$100$$\$300$$\$100$ прибыль, которая равна «3/1 on» в британской системе или «3 к 1» для статистики (аквамариновая ставка).

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$$

---

Я ценю, что большая часть этого ответа касалась ставок и выплат, а не статистики, но я обнаружил, что ежедневное использование «шансов» настолько заметно отличается от технического определения статистика, что тщательное сравнение может устранить некоторую путаницу (оба -технические игроки и статистики, не связанные с азартными играми. Конечно, между ставками и статистикой существуют глубокие исторические и философские связи. Проблема точек касалась справедливого разделения призового фонда в прерванной азартной игре, и он генерироваться обсуждение со времен средневековья. Когда Антуан Гомбо, кавалер де Мере, представил версию проблемы в 1654 году, последующая переписка Блеза Паскаля и Пьера де ФермаПо этому вопросу заложены основы теории вероятностей. Совсем недавно Фрэнк Рэмси (в 1920-е годы) и Бруно де Финетти (в 1930-е годы) исследовали согласованность ставок (связанных с феноменом азартных игр в голландской книге ) как оправдание байесовской вероятности: если субъективные вероятности агента или степени Вера не подчиняется аксиомам вероятности , тогда они непоследовательны, и против агента можно составить голландскую книгу, подвергая их определенной потере. В Стэнфордской энциклопедии философии есть статья о «Аргументе о голландской книге» .

---

( ) Я намеренно упрощен здесь в педагогических целях. На самом деле букмекеры не согласны в этом вопросе: эти шансы вполне могут быть записаны как «1/3» (что означает «один к трем против»), хотя это все равно можно прочитать вслух как «три к одному на»! Однако, хотя букмекерская контора может сначала написать меньшее число в коэффициентах на ставку, они никогда не будут определять коэффициент на ставку таким образом: «1/3 на» теоретически будет таким же, как «3/1 [против]», но на практике всегда будет цитироваться в последнем виде.$*$

( ) Кроме того, букмекеры не всегда отменяют эти целые числа до самых низких значений: «6/4» часто рекламируется (« ear'ole »), поэтому, возможно, букмекерские конторы считают прибыль в 6 фунтов стерлингов на ставку в 4 фунта стерлингов является более психологически заманчивым, чем перспектива получения прибыли в 3 фунта на долю в 2 фунта. Я слышал, что это доказывало, хотя правда, которую я не знаю, что «100/30» выживает, потому что «10 к 3» может быть ошибочно принято за время гонки. Гонконгские шансы являются дробными (против), отмененными до одного числа, поэтому «5/2 против» становится равным 2,5; прибыль от выигрышной ставки (исключая возврат ставки) - это шансы Гонконга, умноженные на ставку. Шансы Гонконга ниже единицы указывают на вероятность более 50%; они являются взаимной статистической вероятностью.$**$