Т-распределение с более тяжелым хвостом, чем нормальное распределение

В моих конспектах говорится:

Т-распределение выглядит нормально, хотя и с немного более тяжелыми хвостами.

Я понимаю, почему это выглядело бы нормально (из-за центральной предельной теоремы). Но мне трудно понять, как математически доказать, что у него более тяжелые хвосты, чем у нормального распределения, и есть ли способ измерить, насколько он тяжелее нормального распределения.

Первое, что нужно сделать, это формализовать то, что мы подразумеваем под «более тяжелым хвостом». Можно условно посмотреть, насколько высока плотность в крайнем хвосте после стандартизации обоих распределений, чтобы иметь одинаковое местоположение и масштаб (например, стандартное отклонение):

(из этого ответа, который также имеет отношение к вашему вопросу )

[Для этого случая масштабирование в действительности не имеет значения; t все равно будет «тяжелее», чем нормальное, даже если вы используете очень разные весы; нормальное всегда опускается в конце концов]

Тем не менее, это определение - хотя оно работает хорошо для этого конкретного сравнения - не очень хорошо обобщает.

В более общем смысле, гораздо лучшее определение можно найти в ответе Уубера . Поэтому, если имеет более тяжелый хвост, чем , так как становится достаточно большим (для всех некоторого ), то , где , где - это cdf (для более тяжелых - справа, есть аналогичное очевидное определение с другой стороны).$Y$$X$$t$$t>$$t_0$$S_Y(t)>S_X(t)$$S=1-F$$F$

Здесь он находится в логарифмическом масштабе и в квантильной шкале нормали, что позволяет нам увидеть более подробно:

Таким образом, «доказательство» более тяжелой хвостика будет включать сравнение cdf и показ того, что верхний хвост t-cdf в конечном итоге всегда лежит выше, чем у нормали, а нижний хвост t-cdf в конечном итоге всегда лежит ниже, чем у нормали.

В этом случае проще всего сравнить плотности, а затем показать, что из этого должно следовать соответствующее относительное положение файлов cdf (/ функций оставшихся в живых).

Так, например, если вы можете утверждать, что (при некотором заданном )$\nu$

$x^2 - (\nu+1) \log(1+\frac{x^2}{\nu}) > 2\cdot\log(k)\qquad^\dagger$

для необходимой константы (функция ), для всех некоторого , тогда можно было бы установить более тяжелый хвост для также в определении в терминах большего (или большего на левый хвост).$k$$\nu$$x>$$x_0$$t_\nu$$1-F$$F$

$^\dagger$ (эта форма следует из разности логарифмов плотностей, если это имеет место для соблюдения необходимой взаимосвязи между плотностями)

[На самом деле это возможно показать для любого (не только для конкретного, который нам нужен, исходя из соответствующих констант, нормализующих плотность), поэтому результат должен сохраняться для нам нужно.]$k$$k$

Одним из способов увидеть разницу является использование моментов$E\{x^n\}.$

«Более тяжелые» хвосты будут означать более высокие значения для четных моментов мощности (степень 4, 6, 8), когда дисперсия одинакова. В частности, момент 4-го порядка (около нуля) называется куртозом и в определенном смысле сравнивает тяжесть хвоста.

Подробности смотрите в Википедии ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis ).

Вот формальное доказательство, основанное на функциях выживания. Я использую следующее определение «более тяжелого хвоста», вдохновленное википедией :

Случайная величина с функцией выживания имеет более тяжелые хвосты, чем случайная величина с функцией выживания если $Y$$S_y(t)$$X$$S_x(t)$

$$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \infty$$

Рассмотрим случайную переменную распределенную как t Стьюдента со средним нулем, степенями свободы и масштабным параметром . Мы сравниваем это со случайной величиной . Для обеих переменных функции выживания дифференцируемы. Следовательно, $Y$$\nu$$a$$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

$$\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} &= \lim_{t\to\infty}\frac{f_y(t)}{f_x(t)} = \exp \lim_{t\to\infty}\left(\log f_y(t) - \log f_x(t)\right)\\ &=\exp \lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\sigma^2}t^2-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}\frac{a^2}{\sigma^2}u - (\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u}+\frac{C}{u}\right)\right) \end{align*}$$ Где мы подставили . Обратите внимание, что является константой, и Следовательно, по алгебраической предельной теореме $u=t^2/a^2$$0<a^2/\sigma^2<\infty$$\lim_{u\to\infty} C/u = 0$ $$\lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u} = \lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)}{(1)(1+\frac{u}{\nu})(\nu)} = 0$$ $$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty} u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - (0) + (0)\right)\right) = \infty$$

Важно отметить, что результат справедлив для произвольных (конечных) значений , и , поэтому вы можете столкнуться с ситуациями, когда распределение имеет меньшую дисперсию, чем нормальное, но при этом имеет более тяжелые хвосты.$a$$\sigma^2$$\nu$