Карточная игра. Если я вытаскиваю четыре карты случайным образом, а вы берете шесть, какова вероятность того, что моя старшая карта выше вашей самой высокой?

На этот простой вопрос сложный ответ. Осложнения обусловлены двумя факторами:

Карты разыгрываются без замены. (Таким образом, каждый розыгрыш изменяет содержимое колоды, доступной для последующих розыгрышей.)
В колоде обычно есть несколько карт каждого достоинства, что делает ничью на максимально возможную карту.

Поскольку осложнения неизбежны, давайте рассмотрим достаточно широкое обобщение этой проблемы, а затем рассмотрим особые случаи. В обобщении «колода» состоит из конечного числа карт. Карты имеют различных «значений», которые могут быть ранжированы от самого низкого до самого высокого. Пусть будет из значений, которые ранжируются в (с самое низкое и самое высокое). Один игрок вытягивает карт из колоды, а второй игрок вытягивает карты. Какова вероятность того, что карта с самым высоким рейтингом в руке первого игрока строго $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ больше, чем карта с наивысшим рейтингом в руке второго игрока? Пусть это событие будет называться : «победа» для первого игрока. $W$

Один из способов выяснить это начинается с того, что процедура эквивалентна вытягиванию карт из колоды, когда первые из них берут карты первого игрока, а оставшиеся - карты второго игрока. Среди этих карт пусть будет наибольшим значением, а будет количеством карт этого значения. Первый игрок выигрывает только тогда, когда она держит все из этих карт. Несколько способов , в которых эти конкретные карты могут быть найдены среди карт , в то время как число способов размещения этих карт среди всех , которые были сделаны в $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ $\binom{a+b}{k}$ .

Теперь вероятность того, что является наибольшим значением, и существует таких карт, - это возможность выбрать из карт со значением и выбрать оставшиеся из нижнего значений. Поскольку есть равновероятных розыгрышей карт , ответ : $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(В этом выражении и любой биномиальный коэффициент, верхнее значение которого меньше его нижнего значения, или нижнее значение которого является отрицательным, принимается равным нулю.) Это относительно эффективный расчет, занимающий время, пропорциональное количеству карт в колоде. Поскольку он включает исключительно биномиальные коэффициенты, он поддается асимптотическим приближениям для больших значений и . $N_0=0$ $a$ $b$

В некоторых случаях вы можете захотеть изменить определение «победа». Это легко сделать: чередуя значения и , та же формула вычисляет вероятность того, что второй игрок выиграет сразу. Разница между и суммой этих двух шансов является шансом ничьей. Вы можете назначить этот шанс на ничью игрокам в любой пропорции. $a$ $b$ $1$

Во многих обычных колодах игральных карт и для . Поэтому рассмотрим любую колоду, в которой все имеют одинаковое значение, скажем, . В этом случае и предыдущая формула слегка упрощается до $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

Например, с и в общей колоде из 52 карт из 13 рангов, и , . Моделирование 100 000 игр этой игры дало оценку , что является точностью почти до трех значащих цифр и незначительно отличается от того, что говорится в формуле. $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

Следующий Rкод легко модифицируются для оценки для любой палубы: просто изменения , и . Было установлено, что он запускает только 10 000 пьес, что должно занять менее секунды, и это хорошо для двух значащих цифр в оценке. $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

Выход в этом случае

Предполагаемый Pr (побед) = 0,3132 +/- 0,00464

Whuber
источник

отличный ответ! Могу ли я спросить, что вы думаете, если каждый игрок тянет из другой колоды - изменит ли это ответ?

Вуданао,

Да, это изменит ответ, потому что то, что рисует один человек, не зависит от того, что рисует другой игрок. В некотором смысле это более простой вопрос, потому что ответом является простой расчет вероятности того, что одна случайная переменная превысит значение другой, которая не зависит от нее.

whuber

Обратите внимание, что, если бы не было никаких связей, ответ был бы тривиально: : из всех вытянутых карт должна быть самая высокая, и ее шанс попасть в первую очередь рука игрока является из . Но, как вы заметили, наличие нескольких карт с одинаковым значением в колоде усложняет ситуацию.

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

Илмари Каронен,

@ Ilmari Это верно. (И именно эта идея изначально предложила решение, которое я представил.) Без связей, всегда, сумма исчезает, а дробь вычленяет, показывая, как общая формула сводится к этой простой.

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

whuber

@WernerCD Верно, но этот эффект был объяснен: если у костюмов есть ранжирование, то нет никаких связей, и поэтому формула сводится к тому, что описывает комментарий Лимари.

Brilliand

Карточная игра. Если я вытаскиваю четыре карты случайным образом, а вы берете шесть, какова вероятность того, что моя старшая карта выше вашей самой высокой?

Ответы: