Доказательство последовательности уменьшается (поддерживается путем построения большого количества точек)

Многие из вопросов, которые я разместил на SE в прошлом месяце, были направлены на то, чтобы помочь мне решить эту конкретную проблему. На все вопросы ответили, но я все еще не могу найти решение. Итак, я решил, что мне нужно просто задать проблему, которую я пытаюсь решить напрямую.

Пусть , где F n = ( 1 - ( 1 - F n - 1 ) c ) c , F 0 = x , c ≥ 2 (целое число), и каждый F n является cdf над ( 0 , 1 ) .$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

Я хочу доказать, что уменьшается с n для всех c (или даже для любого конкретного c )! Я могу показать, что F n сходится к массе Дирака при единственном решении x c = ( 1 - ( 1 - x ) c ) c ) Для c = 2 , x 2 = ( 3 - $\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$. При просмотре графика cdf для увеличенияnдля одного и того жеc, все cdf пересекаются приxn. ЗначениеF(x)уменьшается для значенийx,меньшихxn,и увеличивается для значенийx,превышающихxn(приувеличенииn), сходящихся к вертикальной линии вточке xn.$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$$n$$x_n$

Ниже приведен график для n = от 1 до 40 для c = от 2 до 7 . Это, конечно, отдельный сюжет, но у меня есть линии, соединенные для удобства просмотра. Чтобы сгенерировать этот график, я использовал NIntegrate в Mathematica, хотя мне нужно было сделать это на 1 - F - 1 n , так как по какой-то причине Mathematica не смогла сгенерировать ответы на большие значения n для исходной функции. Два должны быть эквивалентны, согласно теореме Юнга, ∫ 1 0 F ( х $\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$ . В моем случае F - 1 n ( x ) = 1 - ( 1 - ( F - 1 n - 1 ) $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ ,F - 1 n=x.$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

$EX_n$$x_c$$c$

$EX_n$$n$$c$$c$

На этот вопрос Пьетро Мажер ответил здесь .