Ожидаемое значение как функция квантилей?

Мне было интересно, где есть общая формула для связи ожидаемого значения непрерывной случайной величины как функции квантилей того же самого rv. Ожидаемое значение rv определяется как: E ( X ) = ∫ x d F X ( x ) и квантили определяются как: Q p X = { x : F X ( x ) = p } = F - 1 X ( p ) для p ∈ $X$
$E(X) = \int x dF_X(x)$$Q^p_X = \{x : F_X(x) = p \} =F_X^{-1}(p)$ .$p\in(0,1)$

Например, существует ли такая функция , что: E ( X ) = ∫ p ∈ ( 0 , 1 ) G ( Q p X ) d $G$$E(X) = \int_{p\in(0,1)} G(Q^p_X) dp$

Обратное (обратное справа в дискретном случае) кумулятивной функции распределения называется квантильной функцией, часто обозначаемой Q ( p ) = F - 1 ( p ) . Ожидание µ может быть дано в терминах функции квантиля (когда ожидание существует ...) как µ = ∫ 1 0 Q ( p $F(x)$$Q(p)=F^{-1}(p)$$\mu$ Для непрерывного случая это можно показать с помощью простой подстановки в интеграл: запишите μ = ∫ x f ( x

$$\mu=\int_0^1 Q(p)\; dp$$ а затем p = F ( x ) посредством неявного дифференцирования приводит к d p = f ( x $$\mu = \int x f(x) \; dx$$ $p=F(x)$ : μ = ∫$dp = f(x) \; dx$ Мы получили x = Q ( p ) из p = F ( x ) , применив Q с обеих сторон. $$\mu = \int x \; dp = \int_0^1 Q(p) \; dp$$ $x=Q(p)$$p=F(x)$$Q$