Ожидаемое значение как функция квантилей?

10

Мне было интересно, где есть общая формула для связи ожидаемого значения непрерывной случайной величины как функции квантилей того же самого rv. Ожидаемое значение rv определяется как: E ( X ) = x d F X ( x ) и квантили определяются как: Q p X = { x : F X ( x ) = p } = F - 1 X ( p ) для p (Икс
Е(Икс)знак равноИксdFИкс(Икс)QИкспзнак равно{Икс:FИкс(Икс)знак равноп}знак равноFИкс-1(п) .п(0,1)

Например, существует ли такая функция , что: E ( X ) = p ( 0 , 1 ) G ( Q p X ) d pгЕ(Икс)знак равноп(0,1)г(QИксп)dп

clem12240
источник

Ответы:

15

Обратное (обратное справа в дискретном случае) кумулятивной функции распределения называется квантильной функцией, часто обозначаемой Q ( p ) = F - 1 ( p ) . Ожидание µ может быть дано в терминах функции квантиля (когда ожидание существует ...) как µ = 1 0 Q ( p )F(Икс)Q(п)знак равноF-1(п)μ Для непрерывного случая это можно показать с помощью простой подстановки в интеграл: запишите μ = x f ( x )

μзнак равно01Q(п)dп
а затем p = F ( x ) посредством неявного дифференцирования приводит к d p = f ( x )
μзнак равноИксе(Икс)dИкс
пзнак равноF(Икс) : μ = xdпзнак равное(Икс)dИкс Мы получили x = Q ( p ) из p = F ( x ) , применив Q с обеих сторон.
μзнак равноИксdпзнак равно01Q(п)dп
Иксзнак равноQ(п)пзнак равноF(Икс)Q
Къетил б Халворсен
источник
Можете ли вы взглянуть на этот вопрос, пожалуйста? Я думаю, что ваши идеи могут быть полезны.
Лучоначо