Найти уникальный MVUE

10

Этот вопрос взят из книги Роберта Хогга «Введение в математическую статистику, 6-я версия», проблема 7.4.9 на стр. 388.

Пусть будут iid с pdf ноль в другом месте, где .X1,...,Xnf(x;θ)=1/3θ,θ<x<2θ,θ>0

(а) Найдите mle изθ^θ

(b) Является ли достаточной статистикой для ? Почему ?θ^θ

(c) Является ли уникальным MVUE для ? Почему ?(n+1)θ^/nθ

Я думаю, что могу решить (а) и (б), но меня смущает (в).

Для):

Пусть будет статистикой заказа.Y1<Y2<...Yn

L(θ;x)=13θ×13θ×...×13θ=1(3θ)n когда и ; в других местахθ<y1yn<2θL(θ;x)=0

dL(θ;x)dθ=n(3θ)n1 , так как , мы можем видеть, что эта производная отрицательна,θ>0

поэтому функция правдоподобия уменьшается.L(θ;x)

Из и , и (θ<y1yn<2θ) (θ>y1θ>yn/2),θ>max(y1,yn/2)

L(θ,x) уменьшается, поэтому, когда имеет самое маленькое значение, функция правдоподобия достигнет максимума, поскольку , когда функция правдоподобия достигнет максимального значения.θθ>max(y1,yn/2)θ=max(y1,yn/2)

mleθ^=max(y1,yn/2)

Для (б):

f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)ninI(θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1

по теореме Неймана о факторизации является достаточной статистикой для . Следовательно, также является достаточной статистикой.yn=max(xi)θyn/2

однообразный,

f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)ninI(θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(min(xi)>θ)×1

по теореме Неймана о факторизации, является достаточной статистикой для . Следовательно, также является достаточной статистикой.y1=min(xi)θy1

Для (с):

Сначала мы находим CDFX

F(x)=θx13θdt=x+θ3θ,θ<x<2θ

Далее мы можем найти pdf для и из формулы книги для статистики заказов.Y1Yn

f(y1)=n!(11)!(n1)![F(y1)]11[1F(y1)]n1f(y1)=n[1y1+θ3θ]n113θ=n1(3θ)n(2θy1)n1

однообразный,

f(yn)=n(yn+θ3θ)n113θ=n1(3θ)n(yn+θ)n1

Далее покажем полноту семейства pdf для иf(y1)f(yn)

E[u(Y1)]=θ2θu(y1)n1(3θ)n(2θy1)n1dy1=0θ2θu(y1)(2θy1)dy1=0 . По (производный интеграл) мы можем показать для всех .FTCu(θ)=0θ>0

Поэтому семейство pdf завершено ..Y1

Точно так же, по , мы можем показать, что семейство pdf завершено.FTCYn

Теперь проблема в том, что нам нужно показать, что беспристрастен.(n+1)θ^n

Когдаθ^=y1

E(y1)=θ2θ(y1)n(3θ)n(2θy1)n1dy1=1(3θ)nθ2θy1d(2θy1)n

Мы можем решить интеграл путем интеграции по частям

E(y1)=1(3θ)n[y1(2θy1)nθ2θθ2θ(2θy1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n(3θ)n+1n+1]=θ3θn+1=(n2)θn+1

E((n+1)θ^n)=n+1nE(y1)=n+1n(n2)θn+1=n2nθ

Следовательно, не является объективной оценкой when(n+1)θ^nθθ^=y1

Когдаθ^=yn/2

E(Yn)=θ2θynn(3θ)n(yn+θ)n1dyn=1(3θ)nθ2θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)nθ2θθ2θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)(3θ)n+1n+1]=2θ3θn+1=2n1n+1θ

E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n1n+1θ=2n12nθ

Тем не менее, не является непредвзятой оценкой when(n+1)θ^nθθ^=yn/2

Но ответ книги таков: является уникальным MVUE. Я не понимаю, почему это MVUE, если это предвзятая оценка.(n+1)θ^n

Или мои расчеты неверны, пожалуйста, помогите мне найти ошибки, я могу дать вам более подробные расчеты.

Большое спасибо.

Глубокий Север
источник
Я не вижу каких-либо вычислений распределения . θ^
whuber
Спасибо, что, . Это либо либо зависит от того, какой из них больше. Я рассчитал распределения как для и для . Вы можете видеть и в тексте. θ^=max(y1,yn/2)y1yn/2y1ynf(y1)=n1(3θ)n(2θy1)n1f(yn)=n1(3θ)n(yn+θ)n1
Глубокий Север
И из двух приведенных выше распределений я вычислил и затемE(θ^)=E(Y1)E(θ^)=E(Yn/2)E(n+1nθ^)
Глубокий север

Ответы:

6

Работа с экстремумами требует осторожности, но это не должно быть трудным. Важнейший вопрос, который можно найти в середине поста:

... нам нужно показать, что беспристрастен.n+1nθ^n

Ранее вы получили

θ^=max(y1,yn/2)=max{min{yi},max{yi}/2}.

Несмотря на то, что внешний вид грязный, вычисления становятся элементарно , если учесть интегральную функцию распределения . Чтобы начать с этим, обратите внимание, что . Пусть будет числом в этом диапазоне. По определению,F0θ^θt

F(t)=Pr(θ^t)=Pr(y1<t and yn/2t)=Pr(ty1y2yn2t).

Это вероятность того, что все значения лежат между и . Эти значения ограничены интервалом длиной . Поскольку распределение является равномерным, вероятность того, что любой конкретный находится в этом интервале, пропорциональна его длине:nt2t3tyi

Pr(yi[t,2t])=3t3θ=tθ.

Поскольку независимы, эти вероятности умножаются, даваяyi

F(t)=(tθ)n.

Ожидание может быть немедленно найдено путем интегрирования функции выживания по интервалу возможных значений для , , используя для переменной:1Fθ^[0,θ]y=t/θ

E(θ^)=0θ(1(tθ)n)dt=01(1yn)θdy=nn+1θ.

(Эта формула для ожидания получена из обычного интеграла через интеграцию по частям. Подробности приведены в конце https://stats.stackexchange.com/a/105464 .)

Масштабирование по дает(n+1)/n

E(n+1nθ^)=θ,

КЕД .

Whuber
источник
Существует последняя опечатка для последней формулы, она должна быть notθ^θ^n
Deep North
@ Конечно, конечно! Спасибо за указание на это. Это сейчас исправлено.
whuber