Этот вопрос взят из книги Роберта Хогга «Введение в математическую статистику, 6-я версия», проблема 7.4.9 на стр. 388.
Пусть будут iid с pdf ноль в другом месте, где .X1,...,Xnf(x;θ)=1/3θ,−θ<x<2θ,θ>0
(а) Найдите mle изθ^θ
(b) Является ли достаточной статистикой для ? Почему ?θ^θ
(c) Является ли уникальным MVUE для ? Почему ?(n+1)θ^/nθ
Я думаю, что могу решить (а) и (б), но меня смущает (в).
Для):
Пусть будет статистикой заказа.Y1<Y2<...Yn
L(θ;x)=13θ×13θ×...×13θ=1(3θ)n когда и ; в других местах−θ<y1yn<2θL(θ;x)=0
dL(θ;x)dθ=−n(3θ)n−1 , так как , мы можем видеть, что эта производная отрицательна,θ>0
поэтому функция правдоподобия уменьшается.L(θ;x)
Из и , и (−θ<y1yn<2θ)⇒ (θ>−y1θ>yn/2),⇒θ>max(−y1,yn/2)
L(θ,x) уменьшается, поэтому, когда имеет самое маленькое значение, функция правдоподобия достигнет максимума, поскольку , когда функция правдоподобия достигнет максимального значения.θθ>max(−y1,yn/2)θ=max(−y1,yn/2)
∴ mleθ^=max(−y1,yn/2)
Для (б):
f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏niI(−θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1
∴ по теореме Неймана о факторизации является достаточной статистикой для . Следовательно, также является достаточной статистикой.yn=max(xi)θyn/2
однообразный,
f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏niI(−θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(min(xi)>−θ)×1
∴ по теореме Неймана о факторизации, является достаточной статистикой для . Следовательно, также является достаточной статистикой.y1=min(xi)θ−y1
Для (с):
Сначала мы находим CDFX
F(x)=∫x−θ13θdt=x+θ3θ,−θ<x<2θ
Далее мы можем найти pdf для и из формулы книги для статистики заказов.Y1Yn
f(y1)=n!(1−1)!(n−1)![F(y1)]1−1[1−F(y1)]n−1f(y1)=n[1−y1+θ3θ]n−113θ=n1(3θ)n(2θ−y1)n−1
однообразный,
f(yn)=n(yn+θ3θ)n−113θ=n1(3θ)n(yn+θ)n−1
Далее покажем полноту семейства pdf для иf(y1)f(yn)
E[u(Y1)]=∫2θ−θu(y1)n1(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=0⇒∫2θ−θu(y1)(2θ−y1)dy1=0 . По (производный интеграл) мы можем показать для всех .FTCu(θ)=0θ>0
Поэтому семейство pdf завершено ..Y1
Точно так же, по , мы можем показать, что семейство pdf завершено.FTCYn
Теперь проблема в том, что нам нужно показать, что беспристрастен.(n+1)θ^n
Когдаθ^=−y1
E(−y1)=∫2θ−θ(−y1)n(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=1(3θ)n∫2θ−θy1d(2θ−y1)n
Мы можем решить интеграл путем интеграции по частям
E(−y1)=1(3θ)n[y1(2θ−y1)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(2θ−y1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n−(3θ)n+1n+1]=θ−3θn+1=(n−2)θn+1
∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(−y1)=n+1n(n−2)θn+1=n−2nθ
Следовательно, не является объективной оценкой when(n+1)θ^nθθ^=−y1
Когдаθ^=yn/2
E(Yn)=∫2θ−θynn(3θ)n(yn+θ)n−1dyn=1(3θ)n∫2θ−θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)−(3θ)n+1n+1]=2θ−3θn+1=2n−1n+1θ
∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n−1n+1θ=2n−12nθ
Тем не менее, не является непредвзятой оценкой when(n+1)θ^nθθ^=yn/2
Но ответ книги таков: является уникальным MVUE. Я не понимаю, почему это MVUE, если это предвзятая оценка.(n+1)θ^n
Или мои расчеты неверны, пожалуйста, помогите мне найти ошибки, я могу дать вам более подробные расчеты.
Большое спасибо.
Ответы:
Работа с экстремумами требует осторожности, но это не должно быть трудным. Важнейший вопрос, который можно найти в середине поста:
Ранее вы получили
Несмотря на то, что внешний вид грязный, вычисления становятся элементарно , если учесть интегральную функцию распределения . Чтобы начать с этим, обратите внимание, что . Пусть будет числом в этом диапазоне. По определению,F 0≤θ^≤θ t
Это вероятность того, что все значения лежат между и . Эти значения ограничены интервалом длиной . Поскольку распределение является равномерным, вероятность того, что любой конкретный находится в этом интервале, пропорциональна его длине:n −t 2t 3t yi
Поскольку независимы, эти вероятности умножаются, даваяyi
Ожидание может быть немедленно найдено путем интегрирования функции выживания по интервалу возможных значений для , , используя для переменной:1−F θ^ [0,θ] y=t/θ
(Эта формула для ожидания получена из обычного интеграла через интеграцию по частям. Подробности приведены в конце https://stats.stackexchange.com/a/105464 .)
Масштабирование по дает(n+1)/n
КЕД .
источник