Является ли выборка из сложенного нормального распределения эквивалентной выборке из нормального распределения, усеченной до 0?

9

Я хочу моделировать с нормальной плотностью (скажем, среднее = 1, SD = 1), но хочу только положительные значения.

Одним из способов является симуляция с нормой и получение абсолютного значения. Я думаю об этом как о сложенном нормальном.

Я вижу в R есть функции для генерации усеченной случайной величины. Если я симулирую из усеченной нормали (усечение в 0), это эквивалентно сложенному подходу?

лощина
источник

Ответы:

10

Да, подходы дают одинаковые результаты для нормального распределения с нулевым средним .

Достаточно проверить, что вероятности совпадают на интервалах, потому что они порождают сигма-алгебру всех (лебеговских) измеримых множеств. Пусть - стандартная нормальная плотность: дает вероятность того, что стандартная переменная Normal лежит в интервале . Тогда для - усеченная вероятность являетсяΦ ( ( a , b ] )ΦΦ((a,b])(a,b]0ab

Φtruncated((a,b])=Φ((a,b])/Φ([0,])=2Φ((a,b])

(потому что ) и сложенная вероятностьΦ([0,])=1/2

Φfolded((a,b])=Φ((a,b])+Φ([b,a))=2Φ((a,b])

из-за симметрии около .0Φ0

Этот анализ справедлив для любого распределения, которое симметрично относительно и имеет нулевую вероятность быть . Однако если среднее значение отлично от нуля , распределение не симметрично, и оба подхода не дают одинакового результата, как показывают те же вычисления.000

Три распределения

На этом графике показаны функции плотности вероятности для нормального (1,1) распределения (желтый), сложенного нормального (1,1) распределения (красный) и усеченного нормального (1,1) распределения (синий). Обратите внимание, что сложенное распределение не разделяет характерную форму кривой колокола с двумя другими. Синяя кривая (усеченное распределение) - это положительная часть желтой кривой, масштабированная так, чтобы иметь единичную площадь, тогда как красная кривая (сложенное распределение) - это сумма положительной части желтой кривой и ее отрицательного хвоста (как отражено вокруг ось у).

Whuber
источник
1
Мне нравится картина.
Карл
5

Пусть . Распределение определенно не совпадает с распределением,X | X > 0 | X |XN(μ=1,SD=1)X|X>0|X|

Быстрый тест в R:

x <- rnorm(10000, 1, 1)
par(mfrow=c(2,1))
hist(abs(x), breaks=100)
hist(x[x > 0], breaks=100)

Это дает следующее. симуляционные гистограммы

Карл
источник