Какое интуитивное значение стоит за случайной величиной, определяемой как «решетка»?

В теории вероятностей неотрицательная случайная величина $X$ называется решеткой, если существует $d \geq 0$ такое, что $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$ .

Существует ли геометрическая интерпретация того, почему это определение называется решеткой?

Это означает, что $X$ дискретен, и в его распределении есть некоторый регулярный интервал; то есть масса вероятности сосредоточена на конечном / счетном множестве точек ${d, 2d, 3d, \dots}$ .

Обратите внимание, что не все дискретные распределения являются решетками. Например, если может принимать значения { 1 , e , π , 5 } , это не решетка, поскольку нет такого d , чтобы все значения можно было выразить в виде кратных d .$X$$\{1, e, \pi, 5\}$$d$$d$

Эта терминология связывает случайную величину с понятиями теории групп, используемой для изучения геометрических симметрий. Поэтому вам может понравиться увидеть более общую связь, которая осветит смысл и потенциальные применения решетчатых случайных величин.

Фон

В математике «решетка» является дискретной подгруппой топологической группы G ( обычно предполагается, что она имеет конечный объем ).$\mathcal{L}$$G$

• «Дискретный» означает, что вокруг каждого элемента есть открытое множество O g ⊂ L, содержащее только сам g : O g ∪ L = { g } . Было бы справедливо думать L как быть «узорчатый» или «обычный» расположение точек в G .$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• Группа действует на L , «перемещая точки в L вокруг в G », образуя из них орбиту . Фундаментальная область этого действия состоит из одной точки в каждой орбите. G может быть оснащен мерой - мера Хаара - используется для измерения размеров или объемами , борелевских измеримых подмножеств G . Измеримая фундаментальная область может быть найдена. Его объем является кообъем из L . Когда оно конечно, мы можем думать о G как о плитке этой фундаментальной области, а элементы L как о перемещении плиток вокруг.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

Любая пара этих фигур морского конька - одна из которых направлена ​​вверх, а другая вверх дном - может быть фундаментальной областью для визуально видимой решетки в евклидовой плоскости. MC Escher, Морской Конек (№ 11) .

«Решеточная» случайная величина поддерживается на решетке в ( R n , + ) . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ Это означает, что вся его вероятность содержится в замыкании решетки. Поскольку решетка дискретна, она замкнута, поэтому значения находятся на решетке почти наверняка: Pr ( X ∈ L ) = 1 .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

заявка

Группа, подразумеваемая этим вопросом, является аддитивной группой действительных чисел с ее обычной (евклидовой) топологией. В качестве подгруппы решетка L должна содержать 0 . Одного этого недостаточно, потому что частное R / { 0 } имеет бесконечный объем («объем» = «длина» в этом одномерном случае). Таким образом , существует по меньшей мере , один ненулевой элемент г ∈ L . Все полномочия этого элемента также должны быть в подгруппе. Поскольку операция является сложением , n- я степень g равна n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$, Следовательно, содержит все целые кратные g (включая отрицательные).$\mathcal{L}$$g$

Если есть два элемента которые не являются степенями друг друга, легко показать (используя небольшую часть теории чисел), что (1) все комбинации n g + m h для n , m ∈ Z находятся в взаимно однозначном соответствии с упорядоченными парами ( m , n ) и (2) эти комбинации плотны в R , что означает, что L не является дискретным. Отсюда легко сделать вывод, что все элементы в L являются степенями одного числа.$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ . $g$ Этогенераториз .$\mathcal{L}$

(Аналогичный аргумент показывает, что решетки в должны иметь n генераторов. Генераторы для акварели Эшера могут быть, скажем, переводом на две единицы вниз и переводом на одну единицу вниз и примерно на одну единицу вправо, приблизительно. )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

Следовательно, любой реальной вещественной решеточной случайной переменной на ( R , + ) должен быть генератор g ≠ 0 , откуда$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

Таким образом, определение в вопросе может быть понято как неотрицательная переменная решетки. Мы могли бы также захотеть оговорить, что , поскольку в противном случае X поддерживается в подгруппе { 0 }, которая, имея бесконечный объем, не является решеткой.$\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

Обобщение

Положительные действительные числа образуют мультипликативную группу. Решетка на этой группе будет иметь вид L = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$