Что такое регион с наивысшей плотностью (HDR)?

В статистическом выводе упоминается проблема 9.6b, «Область самой высокой плотности (HDR)». Однако я не нашел определения этого термина в книге.

Один подобный термин - Высшая Задняя Плотность (HPD). Но это не вписывается в этот контекст, так как 9.6b ничего не упоминает о предыдущем. И в предлагаемом решении это только говорит о том, что «очевидно, является HDR».$c(y)$

Или HDR является областью, содержащей режим (ы) PDF?

Что такое регион с наивысшей плотностью (HDR)?

Я рекомендую статью Роба Хиндмана 1996 года «Вычисление и построение графиков регионов с высокой плотностью» в «Американской статистике» . Вот определение HDR, взятое из этой статьи:

Пусть функция плотности случайной величины . Тогда HDR - это подмножество выборочного пространства такое, что где - наибольшая константа, такая что X 100 ( 1 - α ) % R ( f α ) X R ( f α ) = { x : f ( x ) ≥ f α } , f α P ( X ∈ R ( f α ) ) ≥ 1 - α $f(x)$$X$$100(1-\alpha)\%$$R(f_\alpha)$$X$

$$R(f_\alpha) = \{x\colon f(x)\geq f_\alpha\},$$ $f_\alpha$ $$P\big(X\in R(f_\alpha)\big)\geq 1-\alpha.$$

Рисунок 1 из этой статьи иллюстрирует разницу между 75% HDR (так что ) и различными другими 75% вероятностными областями для смеси двух нормалей ( - это квантиль, - среднее значение, а - стандартное отклонение плотности):c q q μ $\alpha=0.25$$c_q$$q$$\mu$$\sigma$

Идея в одном измерении состоит в том, чтобы взять горизонтальную линию и сдвинуть ее вверх (до ), пока область над ней и под плотностью не станет . Тогда HDR - это проекция на ось этой области.$y=f_\alpha$$1-\alpha$$R_\alpha$$x$

Конечно, все это работает с любой плотностью, будь то байесовский зад или другой.

Вот ссылка на код R, который является hdrcdeпакетом (и на статью о JSTOR).

Самая высокая апостериорная плотность [интервал] - это, по сути, самый короткий интервал апостериорной плотности для некоторого заданного уровня достоверности. Область с наивысшей плотностью, вероятно, является той же идеей, применимой к любой произвольной плотности, поэтому не обязательно апостериорного распределения.

$1-\alpha$$q_{1-\alpha/2 + c}$$q_{\alpha/2 -c}$

$f(\cdot)$$a$$b$$f(a) = f(b)$