Связь между суммой гауссовых RV и гауссовой смеси

Я знаю, что сумма гауссианов является гауссовой. Итак, чем же отличается смесь гауссов?

Я имею в виду, смесь гауссианов - это просто сумма гауссиан (где каждый гауссиан умножается на соответствующий коэффициент смешения), верно?

Взвешенная сумма гауссовских случайных величин p ∑ i = 1 β i X i является гауссовой случайной величиной : если ( X 1 , … , X p ) ∼ N p ( μ , Σ ), то β T ( X 1 , … , X p ) ∼ N 1 ( $X_1,\ldots,X_p$

$$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$$ $$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$$ $$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$$

Смесь гауссовых плотностей имеет плотность, заданную в виде взвешенной суммы гауссовых плотностей : которая почти всегда не равна гауссовой плотность. См., Например, синюю оценочную плотность смеси ниже (где желтая полоса является мерой изменчивости оценочной смеси):

$$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$$

[Источник: Марин и Роберт, Байесовское ядро , 2007]

$X\sim f(\cdot;\theta)$

$$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$$ $X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$$Z$$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$ $$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$$

А вот код R, который дополняет ответ @ Xi'an:

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

Распределением суммы независимых случайных величин является свертка их распределений. Как вы заметили, свертка двух гауссианов оказывается гауссовой.

$X,Y$$Z$$X$$Y$$Z=X$$Z=Y$