Почти уверенная конвергенция не подразумевает полной конвергенции

Мы говорим, что $X_1, X_2, \ldots$ полностью сходятся к если для каждого .ϵ > $X$$\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Лемма Бореля Кантелли прямо доказывает, что полная сходимость подразумевает почти уверенную сходимость.

Я ищу пример, где почти наверняка сходимость не может быть доказана с помощью Бореля Кантелли. Это последовательность случайных величин, которая сходится почти наверняка, но не полностью.

Пусть $\Omega=(0,1)$ с борелевской сигма-алгеброй $\mathfrak{F}$ и равномерной мерой $\mu$ . определять

и противном случае. X п , очевидноизмеримы на вероятностном пространстве ( Ω , F , μ ) .$X_n(\omega)=0$$X_n$$(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

Для любого и всех N > 1 /$\omega\in\Omega$$N \gt 1/\omega$ случай . Таким образом, по определению, последовательность ( X n ) сходится к 0 (не только почти наверняка!).$X_n(\omega)=0$$(X_n)$$0$

$0 \lt \epsilon \lt 1$$\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

который расходится до .$\infty$