Почти уверенная конвергенция не подразумевает полной конвергенции

10

Мы говорим, что X1,X2, полностью сходятся к если для каждого .ϵ > 0Xϵ>0 n=1P(|XnX|>ϵ)<

Лемма Бореля Кантелли прямо доказывает, что полная сходимость подразумевает почти уверенную сходимость.

Я ищу пример, где почти наверняка сходимость не может быть доказана с помощью Бореля Кантелли. Это последовательность случайных величин, которая сходится почти наверняка, но не полностью.

Manuel
источник

Ответы:

9

Пусть Ωзнак равно(0,1) с борелевской сигма-алгеброй F и равномерной мерой μ . определять

ИксN(ω)знак равно2+(-1)N когда ω1/N

и противном случае. X п , очевидноизмеримы на вероятностном пространстве ( Ω , F , μ ) .ИксN(ω)знак равно0ИксN(Ω,F,μ)

фигура

Для любого и всех N > 1 / ωωΩN>1/ω случай . Таким образом, по определению, последовательность ( X n ) сходится к 0 (не только почти наверняка!).ИксN(ω)знак равно0(ИксN)0

0<ε<1Pr(ИксN>ε)знак равноPr(ИксN0)знак равно1/N

ΣNзнак равно1Pr(ИксN>ε)знак равноΣNзнак равно11N,

который расходится до .

Whuber
источник
1
Большое спасибо!. Два комментария, есть ли причина для определения вместо ? во-вторых, это должно бытьХ п ( ш ) = 1 ,  когда  ш & le ; 1 / п Σ Pr ( Х п > ε )
ИксN(ω)знак равно2+(-1)N когда ω1/N
ИксN(ω)знак равно1 когда ω1/N
ΣPr(ИксN>ε) ?
Мануэль
1
1. Нет веских причин. Пока я обдумывал это, я использовал термин как напоминание о том, что в таких точках может не быть конвергенции. 2. Я установил опечатка, спасибо. <±1<
whuber
Являются ли независимым? Они, кажется, мне, что по лемме Второй Борел Кантелли будет означать, что сходимость почти не уверен. ИксN
Rdrr
@Rdrr Тогда у вас не должно возникнуть проблем с демонстрацией того, что не являются независимыми. ИксN
whuber