Распределение, которое описывает разницу между отрицательными биномиальными распределенными переменными?

18

Skellam Распределение описывает разницу между двумя переменными , которые имеют распределение Пуассона. Существует ли подобное распределение, которое описывает разницу между переменными, которые следуют отрицательным биномиальным распределениям?

Мои данные получены с помощью процесса Пуассона, но содержат значительное количество шума, что приводит к чрезмерному рассредоточению в распределении. Таким образом, моделирование данных с отрицательным биномиальным (NB) распределением работает хорошо. Если я хочу смоделировать разницу между двумя из этих наборов данных NB, каковы мои варианты? Если это помогает, примите одинаковые средние значения и дисперсию для двух наборов.

chrisamiller
источник
Существует множество легко описываемых дистрибутивов, которые не имеют стандартных имен.
Glen_b

Ответы:

22

Я не знаю название этого распределения, но вы можете просто вывести его из закона полной вероятности. Предположим, что имеют отрицательные биномиальные распределения с параметрами ( r 1 , p 1 ) и ( r 2 , p 2 ) соответственно. Я использую параметризацию, где X , Y представляют количество успехов перед ошибками r 1 и r 2 соответственно. Потом,X,Y(r1,p1)(r2,p2)X,Yr1r2

P(XY=k)=EY(P(XY=k))=EY(P(X=k+Y))=y=0P(Y=y)P(X=k+y)

Мы знаем

P(X=k+y)=(k+y+r11k+y)(1p1)r1p1k+y

и

P(Y=y)=(y+r21y)(1p2)r2p2y

так

P(XY=k)=y=0(y+r21y)(1p2)r2p2y(k+y+r11k+y)(1p1)r1p1k+y

Это не красиво (yikes!). Единственное упрощение, которое я вижу сразу,

p1k(1p1)r1(1p2)r2y=0(p1p2)y(y+r21y)(k+y+r11k+y)

which is still pretty ugly. I'm not sure if this is helpful but this can also be re-written as

p1k(1p1)r1(1p2)r2(r11)!(r21)!y=0(p1p2)y(y+r21)!(k+y+r11)!y!(k+y)!

I'm not sure if there is a simplified expression for this sum but it could be approximated numerically if you only need it to calculate p-values

I verified with simulation that the above calculation is correct. Here is a crude R function to calculate this mass function and carry out a few simulations

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

I've found the sum converges very quickly for all of the values I tried, so setting UB higher than 10 or so is not necessary. Note that R's built in rnbinom function parameterizes the negative binomial in terms of the number of failures before the r'th success, in which case you'd need to replace all of the p1,p2's in the above formulas with 1p1,1p2 for compatibility.

Macro
источник
Thanks. I'll need some time to digest this, but your help is much appreciated.
chrisamiller
-2

Yes. skewed generalized discrete Laplace distribution is the difference of two negative binomial distributed random variables. For more clarifications refer the online available article "skewed generalized discrete Laplace distribution" by seetha Lekshmi.V. and simi sebastian

simi sebastian
источник
4
Can you provide a complete citation & a summary of the information in the paper so future readers can decide if it's something they want to pursue?
gung - Reinstate Monica
The article mentioned by @simi-sebastian (the author?) is ijmsi.org/Papers/Volume.2.Issue.3/K0230950102.pdf. However, unless I'm mistaken, it only addresses the case of the Negative Binomial variables X and Y both having the same dispersion parameter, rather than the more general case described by the original poster.
Constantinos