Решение к упражнению 2.2a.16 «Надежная статистика: подход, основанный на функциях влияния»

На странице 180 Робастной статистики: подход, основанный на функциях влияния, можно найти следующий вопрос:

• 16: Показать, что для инвариантных по местоположению оценок всегда . Найдите соответствующую верхнюю границу для точки развала конечной выборки , причем в случае, когда нечетно или четно.$\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$$\varepsilon^*_n$$n$$n$

Вторая часть (после периода) на самом деле тривиальна (учитывая первую), но я не могу найти способ доказать первую часть (предложение) вопроса.

В разделе книги, касающемся этого вопроса, можно найти (стр. 98):

Определение 2: точка развала конечной выборки оценки в выборке определяется как:$\varepsilon^*_n$$T_n$$(x_l,\ldots, x_n)$

$$\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$$

где выборка $(z_1,\ldots,z_n)$ получается путем замены $m$ точек данных $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ произвольными значениями $y_1,\ldots,y_m.$

Формальное определение само по себе работает почти для страницы, но его можно рассматривать как Хотя однозначно не определено, одно может предположить, что инвариант местоположения означает, что должен удовлетворять $\varepsilon^*$

Я (пытаюсь) ответить на вопрос Вубера в комментарии ниже. Книга определяет оценку в несколько страниц, начиная с p82, я пытаюсь воспроизвести основные части (я думаю, что это ответит на вопрос Уубера):$T_n$

Предположим, у нас есть одномерные наблюдения которые независимы и одинаково распределены (iid). Наблюдения принадлежат некоторому выборочному пространству , которое является подмножеством вещественной линии (часто просто равно самому , поэтому наблюдения могут принимать любое значение ). Параметрическая модель состоит из семейства вероятностных распределений на выборочном пространстве, где неизвестный параметр принадлежит некоторому пространству параметров$(X_1,\ldots,X_n)$$\mathcal{H}$$\mathbb{R}$$\mathcal{H}$$\mathbb{R}$$F_\theta$$\theta$$\Theta$

...

Мы отождествляем выборку с ее эмпирическим распределением , игнорируя последовательность наблюдений (как это почти всегда делается). Формально , задается , где , является точечная масса 1 в . В качестве оценки мы рассматриваем вещественную статистику . В более широком смысле оценщик можно рассматривать как последовательность статистики , по одной для каждого возможного размера выборки . В идеале, наблюдения должны проводиться в соответствии с членом параметрической модели $(X_1,\ldots,X_n)$$G_n$$G_n$$(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$$\Delta_{X}$$X$$\theta$$T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$$\{T_n,n\geq 1\}$$n$$\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , но класс всех возможных распределений вероятностей на намного больше.$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

Мы рассматриваем оценки, которые являются функционалами [т.е. для всех и ] или могут асимптотически заменяться функционалами. Это означает, что мы предполагаем, что существует функционал [где домен - это множество всех распределений для которого определен ], такой что в вероятности, когда наблюдения находятся в соответствии с истинным распределением в . Мы говорим, что$T_n(G_n)=T(G_n)$$n$$G_n$$T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$$T$$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$T$

$$T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$$ $G$$\mbox{domain}(T)$$T(G)$это асимптотическое значение на .$\{T_n;n\geq 1\}$$G$

...

В этой главе мы всегда предполагаем, что изучаемые функционалы согласованы по Фишеру (Kallianpur and Rao, 1955): что означает, что в модель оценщик асимптотически измеряет правильную величину. Понятие согласованности Фишера более подходит и элегантно для функционалов, чем обычная согласованность или асимптотическая непредвзятость.

$$T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$$ $\{T_n;n\geq 1\}$

В старых книгах по статистике «инвариант» использовался немного иначе, чем можно было ожидать; неоднозначная терминология сохраняется. Более современный эквивалент - «эквивариантный» (см. Ссылки в конце этого поста). В настоящем контексте это означает

для всех реальных .$c$

Тогда для решения вопроса предположим, что обладает свойством, что для достаточно большого , всех вещественных и всех ,$T_n$$n$$c$$m \le \varepsilon^{*}n$

всякий раз , когда отличается от не более не более чем в координат.$\mathbf Y$$\mathbf{X}$$c$$m$

(Это более слабое условие, чем предполагалось в определении границы разбивки. Фактически, все, что нам действительно нужно предположить, это то, что когда достаточно велико, выражение « » является некоторым значением, которое гарантированно будет меньше в размере.)$n$$o(|c|)$$|c|/2$

Доказательство от противного. Соответственно, предположим, что этот также эквивариантен, и предположим, что . Тогда при достаточно больших , представляет собой целое число , по которому оба и . Для любых действительных чисел определим$T_n$$\varepsilon^{*} \gt 1/2$$n$$m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$$m(n)/n \le \varepsilon^{*}$$(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$$a,b$

где есть 's и ' s. Изменяя или меньше координат, мы заключаем оба$m(n)$ $a$$n-m(n)$ $b$$m(n)$

а также

При неравенство треугольника утверждает$c\gt 0$

Строгое неравенство на предпоследней линии обеспечивается при достаточно большом . Противоречие, которое оно подразумевает, , доказывает$n$$c \lt c$$\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Ссылки

Е. Л. Леманн, Теория точечного оценивания . Джон Вили 1983

В тексте (глава 3, раздел 1) и сопроводительной сноске Леманн пишет

Оценщик, удовлетворяющий для всех будет называться эквивариантным ...$\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$$a$

Некоторые авторы называют такие оценки «инвариантными». Поскольку это предполагает, что оценка остается неизменной при , представляется предпочтительным зарезервировать этот член для функций, удовлетворяющих для всех .$X_i^\prime = X_i+a$$u(x+a)=u(x)$$x,a$