Покажем, что если

В настоящее время застрял на этом, я знаю, что я, вероятно, должен использовать среднее отклонение биномиального распределения, но я не могу понять это.

self-study binomial mean expected-value proof thyde
источник

Привет, добро пожаловать в резюме. Хотя такие вопросы приветствуются, мы относимся к ним по-разному - если вы добавите больше информации в свой вопрос, вы можете получить советы и рекомендации. Пожалуйста, смотрите соответствующий параграф на его странице справки , а также рекомендации в self-study теге wiki . Пожалуйста, добавьте self-studyтег и измените свой вопрос в соответствии с предложением (то есть покажите, что вы пробовали, или, по крайней мере, объясните, что вы знаете об ожиданиях и биномах), и определите, в чем заключаются ваши трудности.

Glen_b

Вы также можете посмотреть на неравенство

Дженсена

@ seanv507 Конечно, если мы используем неравенство Дженсена, оно делает это за один шаг, и если тид покрыл это, это все, что нужно, но в этом случае есть действительно элементарное доказательство, которое вполне доступно студентам, которые знают только некоторые из них. очень основные свойства ожидания и дисперсии.

Glen_b

который становится

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$

, тогда при решении получим:

. Это правильно?

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

тид

Я думаю, что вы путаете себя с Вар. просто используйте E. вам нужно показать, что

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

seanv507

Ответы:

Чтобы ветка комментариев не взорвалась, я собираю свои намеки на полностью элементарное доказательство (вы можете сделать это короче этого, но, надеюсь, это сделает каждый шаг интуитивным). Я удалил большинство своих комментариев (что, к сожалению, оставляет комментарии выглядящими немного несвязными).

Пусть . Примечание . Show $Y=X-np$ $E(Y)=0$ . Если вы уже знаете , вы можете просто указать , поскольку смещение на константу ничего не меняет. $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Пусть , Напишите очевидное неравенство в , разверните и используйте предыдущий результат. [Вы можете немного реорганизовать это в четкое доказательство, но я пытаюсь мотивировать, как получить доказательство, а не только окончательное доказательство.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

Это все, что нужно сделать. Это 3 или 4 простые линии, использующие ничего более сложного, чем базовые свойства дисперсии и ожидания (единственный способ, которым бином вводится в это вообще, - это дать конкретную форму и - вы можете доказать общий случай, когда среднее отклонение всегда $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$ так же легко).

[В качестве альтернативы, если вы знакомы с неравенством Дженсена, вы можете сделать это немного более кратко.]

Теперь, когда прошло некоторое время, я обрисую немного больше деталей о том, как к нему подойти:

$Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$ ...

Обратите внимание, что отклонения должны быть положительными. Результат следует.

Glen_b - Восстановить Монику
источник