Как называется статистическая ошибка, из-за которой результаты предыдущих бросков монет влияют на представления о последующих бросках монет?

Как все мы знаем, если вы подбрасываете монету с равным шансом посадки голов, как и с хвостами, то если вы подбрасываете монету много раз, половину времени вы получите головы, а половину - хвосты.

Обсуждая это с другом, они сказали, что если вы перевернете монету 1000 раз, и, скажем, первые 100 раз, когда она приземлилась головой, то шансы на приземление хвоста были увеличены (логика такова, что, если она беспристрастна, затем к тому времени, когда вы перевернули его 1000 раз, у вас будет примерно 500 голов и 500 хвостов, так что хвосты должны быть более вероятными).

Я знаю, что это ошибка, так как прошлые результаты не влияют на будущие результаты. Есть ли название для этой конкретной ошибки? Кроме того, есть ли лучшее объяснение, почему это ошибочно?

Это называется ошибкой Игрока .

Первое предложение этого вопроса включает в себя еще одну (связанную) ошибку:

«Как мы все знаем, если вы подбрасываете монету с равным шансом посадки головок, как и с хвостами, то если вы подбрасываете монету много раз, половину времени вы получите головами, а половину - хвостами ».

Нет, мы не получим это, мы не получим головы половину времени и хвосты половину времени. Если бы мы получили это, то Игрок в конце концов не ошибся бы . Математическое выражение для этого словесного утверждения выглядит следующим образом: Для некоторого «большого» (но конечного) мы имеем , где, очевидно, обозначает число раз монета приземляется головы. Поскольку конечно, то также конечно и отличное значение от . Так что же происходит после того, сальто было сделано? Либо приземлился головами, либо нет. В обоих случаях$n'$$n_{h} = \frac {n'}{2}$$n_{h}$$n'$$n'+1$$n'$$n'+1$$n_h$ только что перестал быть равным "половине количества бросков".

Но, возможно, мы действительно имели в виду «невообразимо большой» ? Тогда мы заявляем$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$

Но здесь RHS («правая сторона») содержит которое по LHS («левая сторона») перешло в бесконечность. Таким образом, RHS - это также бесконечность, и поэтому в этом утверждении говорится, что число раз, которое монета приземлится, равно бесконечности, если мы подбрасываем монету бесконечное количество раз (деление на пренебрежимо мало)$n$$2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$

Это по существу правильное, но бесполезное утверждение , и, очевидно, не то, что мы имеем в виду.

В целом, утверждение в вопросе не имеет места, независимо от того, считается ли «общее количество бросков» конечным или нет.

Возможно, тогда мы должны заявить

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$

Во-первых, это переводится как «Соотношение числа приземленных головок к общему количеству бросков стремится к значению когда число бросков стремится к бесконечности», что является другим утверждением - нет «половины общих бросков» Вот. Кроме того, это то, как вероятность все еще иногда воспринимается как детерминированный предел относительных частот. Проблема с этим утверждением состоит в том, что оно содержит в LHS неопределенную форму: и числитель, и знаменатель уходят в бесконечность. $1/2$

Хммм, давайте внесем арсенал случайных величин . Определите случайную переменную как принимающую значение если бросок выпал на голову, если он выпал на хвост. Тогда у нас есть $X_i$$1$$i$$0$

$$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$

Можем ли мы сейчас хотя бы заявить

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$

Нет . Это детерминированный предел. Он допускает все возможные реализации последовательности , и поэтому он даже не гарантирует существования предела, не говоря уже о том, что он равен . На самом деле такое утверждение можно рассматривать только как ограничение последовательности, и оно разрушило бы независимость бросков.$X$$1/2$

Что мы можем сказать, так это то, что эта средняя сумма сходится по вероятности («слабо») к (слабый закон больших чисел Бернулли),$1/2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$

и в рассматриваемом случае он также почти сходится («сильно») (борел-сильный закон больших чисел)

$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$

Но это вероятностные утверждения о вероятности, связанной с разницей между и , а не о пределе разницы (которая согласно ложному утверждению должна быть равна нулю - а это не так). $n_h/n$$1/2$$n_h-n_t$

Следует признать, что для того, чтобы действительно понять эти два утверждения и то, как они отличаются (в «теории» и «практике») от некоторых из предыдущих, требуются определенные интеллектуальные усилия - я пока еще не требую такого глубокого понимания для себя.

Эта ошибка имеет много имен.

1) Это, вероятно, больше всего известно как заблуждение Игрока

2) его также иногда называют « законом малых чисел » (также см. Здесь ) (потому что это относится к идее, что характеристики популяции должны быть отражены в небольших выборках) - что, я думаю, является опрятным названием для его контраста с законом большого числа, но, к сожалению, одно и то же имя применяется к распределению Пуассона (а также иногда используется математиками для обозначения чего-то еще), что может ввести в заблуждение.

3) среди людей, которые верят в заблуждение, его иногда называют « законом средних величин », который, в частности, имеет тенденцию вызываться после пробега без какого-либо результата, чтобы утверждать, что результат «должный», но, конечно, такого краткосрочного закон существует - ничто не действует, чтобы «компенсировать» первоначальный дисбаланс - единственный способ устранить первоначальное несоответствие - это объем более поздних значений, которые сами имеют в среднем 1/2 .

Рассмотрим эксперимент, в котором справедливая монета подбрасывается неоднократно; пусть - количество голов, а - количество хвостов, наблюдавшихся до конца испытания. Обратите внимание, что$H_i$$T_i$$i$$i=H_i+T_i$

Интересно отметить, что в долгосрочной перспективе (то есть ), в то время как по вероятности сходятся к ,растет с ростом - действительно он растет без ограничений; нет ничего, что "толкает его назад к 0".$n\to\infty$$\frac{H_n}{n}$$\frac{_1}{^2}$$E|H_n-T_n|$$n$

Вы думаете о «стохастике»? Бросок чеканной монеты (или бросок жетона) является стохастическим (то есть независимым) в том смысле, что он не зависит от предыдущего броска такой монеты. Если предположить, что монета была перевернута сто раз с сотней голов, то это не меняет того факта, что следующий бросок с вероятностью 50/50 может быть головой.

Напротив, вероятность получения определенной карты из колоды карт без замены не является стохастической, поскольку вероятность получения определенной карты изменит вероятность получения карты в следующем тираже (если это было с заменой, это будет стохастик).

Добавляя к ответам Glen_b и Alecos, давайте определим как количество голов в первых испытаниях. Знакомый результат, использующий нормальное приближение к биному, состоит в том, что приблизительно равен . Теперь, прежде чем наблюдать первые 100 бросков, ваш друг прав, что есть хороший шанс, что будет близко к 500. На самом деле,$X_n$$n$$X_n$$N(n/2, \sqrt{n/4})$$X_{1000}$

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$ .

Однако, после наблюдения , давайте определим как число голов в последних 900 испытаниях, а затем$X_{100} =100$$Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

поскольку примерно .$Y_{900}$$N(450, 15)$

Таким образом, после наблюдения 100 голов в первых 100 испытаниях больше нет высокой вероятности наблюдения почти 500 успехов в первых 1000 испытаниях, если, конечно, предположить, что монета справедлива. Обратите внимание, что это конкретный пример, иллюстрирующий, что первоначальный дисбаланс вряд ли будет компенсирован в краткосрочной перспективе.

Кроме того, обратите внимание, что если , то$n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

но влияние дисбаланса в первые 100 бросков незначительно в долгосрочной перспективе, так как

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

Вы ссылаетесь на заблуждение Игрока , хотя это не совсем правильно.

Действительно, если сформулировать его как «с учетом предполагаемой честной монеты и наблюдая заданную последовательность результатов, какова оценка элементарных вероятностей монеты», это становится более очевидным.

В самом деле, « заблуждение » относится только к (предполагаемым) честным монетам, где различные произведения проб одинаковы. Однако это влечет за собой интерпретацию, которая в отличие от (изучения) подобных случаев с монетой, имеющей другое (несимметричное / смещенное) распределение вероятностей.

Для дальнейшего обсуждения этого (и небольшой поворот) см. Этот вопрос .

Это точно так же, как ошибка, используемая во многих статистических исследованиях, где корреляция подразумевает причинность . Но это может быть намек на причинно-следственную связь или общее дело.

Просто отметим, что если вы получаете огромное количество голов или хвостов подряд, вам, возможно, будет лучше пересмотреть свое предположение о том, что монета была честной.