Сколько стикеров мне нужно, чтобы завершить мой альбом FIFA Panini?

Я играю на альбоме FIFA Panini Online Sticker Album , который представляет собой интернет-адаптацию классических альбомов Panini, которые обычно публикуются для чемпионата мира по футболу, чемпионата Европы и, возможно, других турниров.

Альбом имеет заполнители для 424 различных стикеров. Цель игры - собрать все 424. Стикеры поставляются в пачках по 5 штук, которые можно получить с помощью кодов, найденных в Интернете (или, в случае классического печатного альбома, купленного в местном газетном киоске).

Я делаю следующие предположения:

• Все стикеры публикуются в одинаковом количестве.
• Одна упаковка стикеров не содержит дубликатов.

Как я могу узнать, сколько пачек стикеров мне нужно приобрести, чтобы быть уверенным (скажем, на 90%), что у меня есть все 424 уникальных стикера?

Это прекрасная проблема со сборщиком купонов, с небольшим поворотом в связи с тем, что наклейки поставляются в упаковках по 5 штук.

Если наклейки были куплены индивидуально, результат известен, как вы можете видеть здесь .

Все оценки для 90% верхней границы для индивидуально купленных наклеек также являются верхними оценками для задачи с пакетом из 5, но с менее близкой верхней границей.

Я думаю, что получить лучшую верхнюю границу вероятности 90%, используя пакет из 5 зависимостей, будет намного сложнее и не даст вам гораздо лучшего результата.

Итак, используя оценку хвоста сn=424и n - β + 1 =0,1, вы получите хороший ответ.$P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$$n=424$$n^{-\beta+1} = 0.1$

РЕДАКТИРОВАТЬ :

Статья «Проблема коллекционера с групповыми рисунками» (Вольфганг Стадже), ссылка на статью, предоставленную Assuranceturix, представляет точное аналитическое решение проблемы коллекционера купонов с «наклейками».

Прежде чем писать теорему, определим некоторые обозначения: будет набором всех возможных наклеек, s = | S | , A ⊂ S будет подмножеством, которое вас интересует (в OP, A = S ), а l = | A $S$$s = |S|$$A \subset S$$A = S$$l = |A|$, Мы собираемся нарисовать, с заменой, случайных подмножеств m различных наклеек. X k ( A ) будет количеством элементов A, которые появляются хотя бы в одном из этих подмножеств.$k$$m$$X_{k}(A)$$A$

Теорема говорит, что:

Итак, для ОП у нас есть и m = 5 . Я сделал несколько попыток со значениями k около оценки для классической задачи сборщика купонов (729 упаковок), и я получил вероятность 90,02% для k, равного700.$l=s=n=424$$m=5$$k$

Так что это было не так далеко от верхней границы :)

На днях я наткнулся на статью, в которой рассматривается тесно связанный вопрос:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Если я правильно понял, ожидаемое количество упаковок, которое вам нужно будет купить:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Однако, как отмечают в комментариях eqperes, конкретный вопрос, который задает ОП, на самом деле подробно рассматривается в другом документе, который не является открытым доступом.

Их окончательный вывод предполагает следующую стратегию (для альбома из 660 стикеров):

• Купите коробку из 100 упаковок по 5 наклеек (500 наклеек, гарантированно все будет по-разному)
• Купите еще 40 пачек из 5 стикеров и меняйте дубликаты, пока не наберете не более 50 стикеров.
• Приобретите оставшиеся наклейки непосредственно у Panini (они стоят примерно в 1,5 раза дороже).

Это всего 140 упаковок + до 15 дополнительных упаковок наклеек (по стоимости), приобретенных целевым образом, что эквивалентно максимум 155 упаковкам .