Предельное распределение диагонали обратной распределенной матрицы Уишарта

Предположим, что . Меня интересует маргинальное распределение диагональных элементов . Есть несколько простых результатов о распределении подматриц (по крайней мере, некоторые из них перечислены в Википедии). Из этого я могу понять, что предельное распределение любого отдельного элемента по диагонали является обратной гаммой. Но я не смог вывести совместное распределение. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Я думал, может быть, это может быть получено по составу, как:

п ({Икс}_{11} | {Икс}_{я я}, я > 1) п ({Икс}_{22} | {Икс}_{я я}, я > 2) ... п ({Икс}_{(п - 1) (п - 1)} | {Икс}_{п п}) п ({Икс}_{п п}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

но я никогда не получал с этим ничего и еще подозреваю, что мне не хватает чего-то простого; кажется, что это «должно» быть известно, но я не смог найти / показать это.

distributions probability pdf JMS
источник

Предложение 7.9 Билодо и Бреннера (PDF-файл находится в свободном доступе в Интернете) дает многообещающий результат для Wishart (возможно, оно переносится для обратного Wishart). Если вы разделите на блоки как , то будет Wishart, как и

, и они независимы.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

Шаббычеф

Это предложение применимо только в том случае, если вы знаете всю матрицу: если у вас есть только диагональ, то вы не знаете, например,

X_{12}

$X_{12}$ , поэтому вы не можете выполнить преобразование.

petrelharp

Ответы:

В общем случае можно разбить любую ковариационную матрицу на разностно-корреляционную декомпозицию как Здесь - корреляционная матрица с единичными диагоналями . Таким образом, диагональные элементы в теперь являются частью диагональной матрицы дисперсий . Поскольку недиагональные элементы матрицы дисперсии равны нулю , совместное распределение является просто произведением маргинальных распределений каждого диагонального элемента.

Σ знак равно диаг (Σ) Q диаг (Σ)^{⊤} знак равно D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

Теперь рассмотрим стандартную модель обратного Вишарта для мерной ковариационной матрицы $d$ $\Sigma$

Σ ~ я W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

Диагональные элементы незначительно распределены как $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{я я} ~ inv- χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{я я}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Ссылка приятно с различными настоятелями для ковариационной матрицы , которые разлагаются в различные распределения дисперсии корреляции даются здесь

user3303
источник