Колебания в сингулярно возмущенных задачах реакции-диффузии с конечными элементами

При FEM-дискретизации и решении задачи диффузии-реакции, например, с (сингулярное возмущение), решение дискретной задачи обычно будет иметь колебательные слои вблизи границы. При , и линейных конечных элементах решение выглядит следующим образом

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

решение сингулярно возмущенной задачи

Я вижу много литературы о таких нежелательных эффектах, когда они вызваны конвекцией (например, дискретизация против ветра), но когда дело доходит до реакции, люди, кажется, сосредотачиваются на изысканных сетках (Шишкин, Бахвалов).

Существуют ли дискретизаторы, которые избегают таких колебаний, то есть сохраняют монотонность? Что еще может быть полезным в этом контексте?

finite-element discretization numerical-analysis singular-perturbation Нико Шлёмер
источник

Разве центральная разностная схема не сохраняет монотонность, потому что она приводит к М-матрице ?

Хуэй Чжан

@HuiZhang К сожалению, нет. Для конечных элементов реакция что приводит к положительным недиагональным элементам.

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

Нико Шломер

@HuiZhang Вы правы, конечно, в случае конечных разностей (и конечных объемов тоже). Я адаптирую ответ, чтобы более четко заявить, что мне интересны конечные элементы.

Нико Шлёмер

Прерывистые методы Галеркина стали довольно популярными для таких задач - вы смотрели книгу Ди Пьетро и Эрна?

Кристиан Клэйсон

Ответы:

В случае, если вы показываете, решение имеет пограничный слой. Если вы не можете разрешить это, потому что ваша сетка слишком грубая, то для всех практических вопросов решение является прерывным для числовой схемы.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

Вольфганг Бангерт
источник

TL; DR: Ваши возможности ограничены: 1) адаптировать грубую силу к точному и дорогостоящему решению 2) использовать числовую диффузию для менее точного, но стабильного решения или (мой любимый) 3) использовать тот факт, что это особая проблема возмущений и решить две недорогие внутренние / внешние проблемы и пусть подобранные асимптотики делают свое волшебство!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ Внутреннее решение с легкостью - в данном случае даже аналитически.

На самом деле это метод, который был (и остается) очень популярным для решения задач ламинарного пограничного слоя в механике жидкости в те времена. Фактически, если вы посмотрите на уравнения Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, вы фактически столкнетесь с сингулярной проблемой возмущения, которая, как и та, которую вы упомянули здесь, развивает пограничный слой (забавный факт: термины «пограничный слой» в возмущении) анализ на самом деле исходит из проблемы пограничного слоя жидкости, которую я только что описал).

$u_0 = 1$

GradGuy
источник