Поддерживается ли принцип максимума / минимума уравнения теплопроводности дискретизацией Кранка-Николсона?

Я использую конечно-разностную схему Кранка-Николсона для решения одномерного уравнения теплопроводности. Мне интересно, если принцип максимума / минимума уравнения теплопроводности (то есть, что максимум / минимум возникает при начальном условии или на границах) также имеет место для дискретного решения.

Вероятно, это связано с тем, что Крэнк-Николсон является стабильной и сходящейся схемой. Но кажется, что вы могли бы доказать это непосредственно с помощью аргумента линейной алгебры, используя матрицы, созданные из трафарета Кранка-Николсона.

Я был бы признателен за любые ссылки на литературу по этому вопросу. Спасибо.

Принцип максимума для Кранка-Николсона будет иметь место, если для временного шага и шага сетки . В общем, мы можем рассмотреть схему вида где - стандартная матрица Лапласа и . Если , то схема устойчива. (Это легко показать методами Фурье.) Однако для того, чтобы принцип максимума в общем случае , необходим более строгий критерий, что .

$$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$$ $k$$h$$\theta$ $$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$$ $A$$0 \leq \theta \leq 1$$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Доказательство см. В разделе « Численные решения дифференциальных уравнений в частных производных» К. В. Мортона . В частности, посмотрите разделы 2.10 и 2.11 и теорему 2.2.

---

Есть также хороший способ увидеть, что принцип максимума не будет в общем случае для Крэнка-Николсона без ограничения .$\mu$

Рассмотрим уравнение теплопроводности на с дискретностью, содержащей 3 точки, включая границу. Пусть обозначает дискретизацию на временном шаге и в точке сетки . Предположим границу Дирихле, так что для всех . Тогда Крэнк-Николсон сводится к которое может быть уменьшено до $[0,1]$$u_i^k$$k$$i$$u^k_0 = u^k_2 = 0$$k$

$$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$$ $$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$$

Если мы рассмотрим начальное условие , то получим и хотя оно всегда будет В случае, когда , мы, тем не менее, будем иметь, что для нечетного если только . Таким образом, принцип максимума / минимума нарушается, если только . Это особенно примечательно в свете того факта, что Крэнк-Николсон стабилен для любого .$u_1^0 = 1$

$$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$$ $u^n_1 \leq 1$$u^n_1 < 0$$n$$\mu \leq 1$$\mu \leq 1$$\mu$

---

В ответ на запрос foobarbaz я добавил набросок доказательства.

Ключ должен написать схему в виде

$$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$$

Гипотеза о том, что в точности эквивалентна тому факту, что все вышеуказанные коэффициенты неотрицательны.$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

Теперь предположим, что максимум достигается во внутренней точке . Обратите внимание, что все , , , , меньше или равно по предположению. Если любой из них строго меньше, чем , то из приведенного выше равенства и неотрицательности коэффициентов следует, что$u^{n+1}_j$$u^{n+1}_{j-1}$$u^{n+1}_{j+1}$$u^n_{j-1}$$u^n_{j+1}$$u^n_j$$u^{n+1}_j$$u^{n+1}_j$

$$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$$

что противоречие. Отсюда следует, что максимум также должен быть достигнут у всех временных и пространственных соседей , а из аргумента связности следует, что дискретизация должна быть постоянной в пространстве и времени, так что максимум все еще достигается на границе. Обратите внимание, что этот аргумент связности отражает доказательство аналитического (т.е. не дискретизированного) принципа максимума.$u^{n+1}_j$$u$

Устойчивость означает, что возмущение остается ограниченным во времени. Это не значит, что принцип максимума выполняется на дискретном уровне, это другая проблема. Удовлетворение принципу дискретного максимума достаточно, но не обязательно для стабильности.