Крошечный детерминант подразумевает плохое кондиционирование матрицы?

29

Если у меня есть квадратная обратимая матрица, и я беру ее определитель, и я нахожу, что , означает ли это, что матрица плохо обусловлена?det(A)0

Верно ли и обратное? Имеет ли плохо обусловленная матрица почти нулевой определитель?

Вот что я пробовал в Октаве:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10
расследование
источник
1
Определитель показывает, является ли матрица регулярной или единственной. Это не показывает, хорошо ли это или плохо обусловлено.
Аллан П. Энгсиг-Каруп
5
Величина определителя не может отражать плохую обусловленность: κ(A)=κ(A1) но det(A1)=(detA)1 .
фалейчик
Должны ли быть или где - нибудь?
Дознание
3
Если вы хотите узнать больше о влиянии математики с плавающей точкой на матричные спектры, вам следует ознакомиться с книгой Ника Трефетена: « Спектры и псевдоспектры: поведение ненормальных матриц и операторов и шлюз псевдоспектров» .
Арон Ахмадиа

Ответы:

38

Это большая величина условного числа κ(A) которая измеряет близость к сингулярности, а не крошечность определителя.

Например, диагональная матрица 1050I имеет крошечный определитель, но она хорошо обусловлена.

С другой стороны, рассмотрим следующее семейство квадратных верхних треугольных матриц, принадлежащих Александру Островскому (а также изученному Джимом Уилкинсоном):

U=(122121)

Определитель матрицы всегда равен , но отношение наибольшего к наименьшему единственному значению (т. Число 2-нормальных условий ), как показал Островский, равен , который, как можно видеть, увеличивается при увеличении .n×nU1κ2(U)=σ1σncot2π4nn

JM
источник
1
@Nunoxic: наверняка нет; прежде чем я начну в деталях, вы уже знакомы с разложением единственного значения?
JM
2
Очень хорошо. Это все, что вам нужно знать. Идея состоит в том, что очень важная информация об обусловленности сосредоточена в . В частности, вы захотите найти самые большие и самые маленькие значения (помните, что декомпозиция определена так, что диагональные элементы неотрицательны) в диагонали этой матрицы. Отношение наибольшей к наименьшей диагональной записи - это число условий . Какой размер номера условия вас должен волновать, зависит от машины, на которой вы работаете ...ΣΣκ
JM
2
... но в целом, когда вы линейные уравнения с этой матрицей, вы теряете в своем решении base- цифры. Это грубое правило для номера условия; так что если вы работаете только с 16 цифрами, А из должно быть причиной для беспокойства. logbκbκ1013
JM
1
Да, но это не рекомендуемый метод определения номера условия (пояснение которого к другому вопросу). Я полагаю, вы знаете, как инвертировать диагональную матрицу, нет?
JM
2
"Regd. Потеря цифр, не могли бы вы дать мне ссылку на это?" - Могу, но это действительно одна из тех вещей, которые вы должны экспериментировать самостоятельно в вычислительной среде для подкрепления.
JM
17

Поскольку , определитель может быть сделан произвольно большим или маленьким путем простого масштабирования (которое не меняет число условия). Особенно в больших размерах, даже масштабирование невинным фактором 2 изменяет детерминант в огромной степени.det(kA)=kndetA

Таким образом, никогда не используйте детерминант для оценки состояния или близости к сингулярности.

С другой стороны, почти для всех хорошо поставленных численных задач условие тесно связано с расстоянием до сингулярности, в смысле наименьшего относительного возмущения, необходимого для того, чтобы сделать задачу некорректной. В частности, это справедливо для линейных систем.

Арнольд Ноймайер
источник