Требуются ли 8 гауссовых точек для шестигранных конечных элементов второго порядка?

10

Можно ли получить точность второго порядка для гексаэдральных конечных элементов с числом точек Гаусса менее 8 без введения нефизических мод? Одна центральная точка Гаусса вводит нефизическую моду сдвига, и стандартное симметричное расположение 8 точек Гаусса дороже по сравнению с тетраэдрическими дискретизациями.

Редактировать : кто-то спросил об уравнениях. Уравнения, которые меня интересуют, имеют нелинейную упругость, динамическую или квазистатическую. Квазистатические уравнения

P(ϕ)=0

где , Ω R 3 и P : R 3 × 3R 3 × 3 - гиперэластичная первая функция напряжений Пиола-Кирхгофа. Простым примером является сжимаемый неоогукан, где P ( F ) = μ ( F - F - T ) + λ F - T log det Fϕ:ΩR3ΩR3P:R3×3R3×3

P(F)=μ(FFT)+λFTlogdetF
Джеффри Ирвинг
источник
Что именно вы моделируете?
Дан
Линейная эластичность на данный момент, но вопрос о нелинейной эластичности в целом.
Джеффри Ирвинг
1
Вероятно, вам следует включить интересующие вас уравнения, поскольку от них зависит определение «нефизического». Или, по крайней мере, точно определить пространство функций, которые являются «физическими».
Дэвид Кетчесон
Уравнения добавлены.
Джеффри Ирвинг
1
С dPhi / dx вы имеете в виду градиент?
Вольфганг Бангерт

Ответы:

4

Что касается моделирования механики твердого тела методом конечных элементов, вы не можете использовать менее 8 квадратурных точек без использования сил стабилизации. В случае несжимаемого материала (ваш случай), лучшее решение для точности - использовать смешанный состав. Вы можете обратиться к книге Симо и Хьюза: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC .

Николя Тардье
источник
0

Относительно очевидно, что в целом вы не можете получить меньше квадратурных точек на ячейку, чем степень свободы. В случае трилинейных элементов на трехмерном шестиграннике существует 8 степеней свободы (по одной на вершину), поэтому минимальное количество квадратурных точек также будет равно восьми.

который не является обратимым и, следовательно, совершенно бесполезным. Причина в том, что квадратная формула из одной точки не может различить все линейные функции (часть пробного пространства), которые имеют одинаковое значение в квадратурной точке; другими словами, для правила средней точки функция формы 'x' такая же, как функция '0', такая же, как функция '-x'. Другими словами, хотя пробное пространство имеет размерность 2 с точными интегралами, для правила средней точки пространство имеет размерность 1, даже если есть две степени свободы - это определение пространства, которое не является неразрушимым.) для правила средней точки функция формы 'x' такая же, как функция '0' и функция '-x'. Другими словами, хотя пробное пространство имеет размерность 2 с точными интегралами, для правила средней точки пространство имеет размерность 1, даже если есть две степени свободы - это определение пространства, которое не является неразрушимым.) для правила средней точки функция формы 'x' такая же, как функция '0' и функция '-x'. Другими словами, хотя пробное пространство имеет размерность 2 с точными интегралами, для правила средней точки пространство имеет размерность 1, даже если есть две степени свободы - это определение пространства, которое не является неразрушимым.)

Вольфганг Бангерт
источник
Я думаю, что вопрос Джеффа более тонкий. Для непрерывных пространств конечных элементов на тетраэдрах в хорошо сформированных областях (например, без изолированных элементов) вы можете избежать использования точечных квадратур, которые явно недостаточно интегрированы. Вопрос в том, можно ли там каким-то образом недоинтегрировать с шестигранными элементами. Я не знаю ответа, но я не уверен, насколько это важно, поскольку квадратурные точки не требуют дополнительного движения памяти. После того как вы векторизуете оценку остаточных элементов, обычно это ограничивается памятью, поэтому вам лучше использовать флопы.
Джед Браун
Хороший момент о движении памяти.
Джеффри Ирвинг
1
3×3
1
Довольно неудобно, что комментарии не могут включать переводы строки.
Джеффри Ирвинг
@JedBrown: Хороший вопрос. Градиент линейных функций на тетах является константой, поэтому достаточно одной квадратурной точки, следуя аргументу, который я привел для матрицы масс (матрица жесткости - это матрица масс для градиентов :-). С другой стороны, градиенты трилинейных функций на гексаэдрах являются (анизотропными) квадратичными функциями, поэтому для каждого координатного направления, безусловно, требуется больше, чем одна квадратурная точка.
Вольфганг Бангерт