Математически, почему массирование матрицы / вектора нагрузки работает?

Я знаю, что люди часто заменяют согласованные матрицы масс сосредоточенными диагональными матрицами. В прошлом я также реализовывал код, в котором вектор нагрузки собирается сосредоточенно, а не в соответствии с FEM. Но я никогда не задумывался, почему нам разрешено делать это в первую очередь.

Какова интуиция за комкованием, которая позволяет применять его к векторам массы и нагрузки? Каково математическое обоснование для этого? В каких ситуациях комкование не допускается / не является хорошим приближением для векторов массы и нагрузки?

В методе конечных элементов элементы матрицы и элементы правой части определяются как интегралы. В общем, мы не можем точно их вычислить и применить квадратуру. Но есть много квадратурных формул, которые можно выбрать, и часто их выбирают таким образом, чтобы (i) ошибка, вносимая квадратурой, была того же порядка, что и ошибка из-за дискретизации, или, по крайней мере, не намного хуже, и (ii) матрица имеет определенные свойства, которые оказываются удобными.

Массовое сосредоточение является примером такой работы: если выбрать конкретную квадратурную формулу (а именно форму с квадратурными точками, расположенными в точках интерполяции конечного элемента), то получающаяся матрица масс оказывается диагональной. Это довольно удобно для вычислительной реализации и причины, по которой люди используют эти квадратурные формулы. Это также причина, почему он «работает»: этот конкретный выбор квадратурной формулы все еще имеет достаточно высокий порядок.

Диагональные матрицы имеют очевидные преимущества в ускорении численных вычислений, и ответ Вольфганга Бангерта является хорошим объяснением того, как вычислять диагональную матрицу масс, но он не отвечает на вопрос ОП «почему это работает » в смысле «почему это хорошее приближение к физике, которую вы моделируете ».

Концептуально вы можете разделить реакцию элемента на три части: поступательное движение твердого тела, жесткое вращение вокруг центра масс элемента и деформация элемента.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Следовательно, вам действительно нужно только «хорошее» приближение к частям движения твердого тела, т.е. 6 степеней свободы, и на самом деле хорошее приближение только к KE из преобразования твердого тела , то есть 3 степени свободы, будет сходиться, так как размер элемента равен снижается.

Диагональные члены матрицы элементов содержат более чем достаточно независимых параметров для представления этих 3 или 6 элементов KE с достаточной точностью. Фактически для элементов более высокого порядка вы можете использовать массовые диагональные массовые матрицы, где диагональные члены для узлов средней стороны равны нулю.

Обратите внимание, что это совершенно другая ситуация по сравнению с потенциальной энергией элемента, где вклады от перемещения и вращения твердого тела равны нулю, и единственное, что имеет значение, это представление энергии деформации, соответствующей деформации элемента . Поэтому диагональная матрица жесткости не будет осуществимой идеей!

Помимо других ответов, существуют сценарии, в которых ошибки в массовой матрице не влияют на желаемый результат.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Хотя рассуждения о динамическом физическом поведении, конечно, легче с «правильной» матрицей масс - например, угловой момент может быть неправильно сохранен матрицами с сосредоточенными массами.}