Математически, почему массирование матрицы / вектора нагрузки работает?

13

Я знаю, что люди часто заменяют согласованные матрицы масс сосредоточенными диагональными матрицами. В прошлом я также реализовывал код, в котором вектор нагрузки собирается сосредоточенно, а не в соответствии с FEM. Но я никогда не задумывался, почему нам разрешено делать это в первую очередь.

Какова интуиция за комкованием, которая позволяет применять его к векторам массы и нагрузки? Каково математическое обоснование для этого? В каких ситуациях комкование не допускается / не является хорошим приближением для векторов массы и нагрузки?

Пол
источник

Ответы:

16

В методе конечных элементов элементы матрицы и элементы правой части определяются как интегралы. В общем, мы не можем точно их вычислить и применить квадратуру. Но есть много квадратурных формул, которые можно выбрать, и часто их выбирают таким образом, чтобы (i) ошибка, вносимая квадратурой, была того же порядка, что и ошибка из-за дискретизации, или, по крайней мере, не намного хуже, и (ii) матрица имеет определенные свойства, которые оказываются удобными.

Массовое сосредоточение является примером такой работы: если выбрать конкретную квадратурную формулу (а именно форму с квадратурными точками, расположенными в точках интерполяции конечного элемента), то получающаяся матрица масс оказывается диагональной. Это довольно удобно для вычислительной реализации и причины, по которой люди используют эти квадратурные формулы. Это также причина, почему он «работает»: этот конкретный выбор квадратурной формулы все еще имеет достаточно высокий порядок.

Вольфганг Бангерт
источник
Потрясающий ответ, как всегда. Мне также было бы очень интересно ваше мнение по второй части вопроса, когда не допускается комкование / плохое приближение , если что-то приходит на ум.
Антон Меньшов
2
@AntonMenshov: Казалось бы, было бы трудно (может быть, невозможно?) Получить хорошее приближение с помощью сосредоточения элементов более высокого порядка, так как сосредоточение (например, по диагонали) в этом случае было бы эквивалентно квадратуре более низкого порядка, примененной к более высокому порядку многочлены.
Павел
@WolfgangBangerth: я думаю, что теперь понимаю. Таким образом, это похоже на использование правил Ньютона-Кота для интеграции вместо гауссовой квадратуры. Поскольку каждая интерполяционная функция Лагранжа имеет единичные значения в одном конкретном узле, перемещение квадратурных точек на узлы приводит к тому, что только диагональные члены становятся ненулевыми (по крайней мере, для линейных элементов).
Пол
1
2n3
1
Важным моментом является то, что для элементов более высокого порядка необходимо определить «сосредоточенную» матрицу масс с помощью конкретных квадратурных формул. Первоначальная форма, из которой происходит термин «сосредоточенный», добавляла недиагональные элементы к диагонали, но это работает, только если они все положительны. Если вы применяете квадратуру Гаусса, это верно для элементов самого низкого порядка, но не для элементов более высокого порядка.
Вольфганг Бангерт
5

Диагональные матрицы имеют очевидные преимущества в ускорении численных вычислений, и ответ Вольфганга Бангерта является хорошим объяснением того, как вычислять диагональную матрицу масс, но он не отвечает на вопрос ОП «почему это работает » в смысле «почему это хорошее приближение к физике, которую вы моделируете ».

Концептуально вы можете разделить реакцию элемента на три части: поступательное движение твердого тела, жесткое вращение вокруг центра масс элемента и деформация элемента.

12vTMvv

aa3a5

Следовательно, вам действительно нужно только «хорошее» приближение к частям движения твердого тела, т.е. 6 степеней свободы, и на самом деле хорошее приближение только к KE из преобразования твердого тела , то есть 3 степени свободы, будет сходиться, так как размер элемента равен снижается.

Диагональные члены матрицы элементов содержат более чем достаточно независимых параметров для представления этих 3 или 6 элементов KE с достаточной точностью. Фактически для элементов более высокого порядка вы можете использовать массовые диагональные массовые матрицы, где диагональные члены для узлов средней стороны равны нулю.

Обратите внимание, что это совершенно другая ситуация по сравнению с потенциальной энергией элемента, где вклады от перемещения и вращения твердого тела равны нулю, и единственное, что имеет значение, это представление энергии деформации, соответствующей деформации элемента . Поэтому диагональная матрица жесткости не будет осуществимой идеей!

alephzero
источник
5

Помимо других ответов, существуют сценарии, в которых ошибки в массовой матрице не влияют на желаемый результат.

K(u) u=f(u)u^K(u) u+C(u) u˙+M u¨=f(u)MCu˙=u¨=0M

MM1

1 Хотя рассуждения о динамическом физическом поведении, конечно, легче с «правильной» матрицей масс - например, угловой момент может быть неправильно сохранен матрицами с сосредоточенными массами.

Макс Лангоф
источник
1
Cu˙Cu˙Mu¨Cu˙C
u¨