Наложить условия совместности смешанного метода конечных элементов в уравнении Стокса

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ Предположим, у нас есть следующее уравнение модели потока Стокса:

$$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$$ где вязкость $\nu(x)$ - это функция, для стандартного смешанного конечного элемента, скажем, мы используем стабильную пару: пространство Крузе-Равиарта $\v{V}_h$ для скорости $\v{u}$ и поэлементное постоянное пространство $S_h$ для давления $p$ , имеем следующую вариационную форму:

$$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$$

и мы знаем, что, поскольку множитель Лагранжа $p$ может быть определен с точностью до константы, окончательно собранная матрица должна иметь нулевое пространство $1$ , чтобы обойти это, мы могли бы заставить давление $p$ на некотором определенном элементе быть равным нулю, так что нам не нужно решить единственную систему.

Итак, вот мой вопрос 1:

• (Q1) Есть ли другой способ, кроме применения $p=0$ для некоторого элемента, чтобы исключить ядро ​​для стандартного смешанного конечного элемента? или, скажем, любой решатель, который сможет решить единственную систему, чтобы получить совместимое решение? (или некоторые ссылки приветствуются)

И что касается совместимости, для (1) это должно быть и приятный маленький трюк состоит в том, чтобы вычислить как мы получили из решения линейная система, вычитаемая из ее средневзвешенного значения: ~ р р ~ р = р -

$$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$$ $\tilde{p}$$p$ $$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$$

Однако недавно я только что реализовал стабилизированный смешанный конечный элемент для уравнения Стокса Бочева, Дормана и Гюнцбергера$P_1-P_0$ , в котором они добавили стабилизированный член в вариационную формулировку (1): где - проекция из кусочно-постоянного пространства в непрерывный кусочно- , а постоянное ядро ​​исходного смешанного конечного элемента исчезло, однако произошли странные вещи, (2) больше не работает, я придумал тестовую задачу от

$$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$$ $\Pi_1$$P_0$$P_1$проблема интерфейса для уравнения диффузии , это то, что я получил для давления , правое - истинное решение, а левое - численное приближение:$p$

однако, если является константой, тестовая задача выполняется просто отлично: $\nu$

Я предполагаю, что это потому, что то, как я навязываю условие совместимости, поскольку оно связано со стабильностью всей системы в целом, вот мой второй вопрос:

• (Q2): есть ли другой способ, кроме (2), наложить совместимость для давления ? или, придумывая тестовую задачу, какой тип мне следует использовать?$p$$p$

Условие совместимости касается скорости, а не давления. В нем говорится, что если у вас есть только граничные условия Дирихле для скорости, то они должны быть совместимы с бездивергентным ограничением, т. с границей вычислительная область (не ячейка).$\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$$\partial \Omega$

В этом случае нельзя отличить от с произвольной константой, потому что у вас нет граничного условия на для фиксации константы. Таким образом, существует бесконечно много решений для давления, и для сравнения решений необходимо соглашение. Математики предпочитают выбирать таким, что (потому что они могут интегрироваться), в то время как физик предпочитают (потому что они могут измерять в точка). Если ваш дискретный эквивалент , это означает, что$\nabla p$$\nabla (p + c)$$c$$p$$c$$\overline{p}=p_\mathrm{ref}$$p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$$Bp$$\nabla p$$B$ имеет нулевое пространство, состоящее из единичного вектора.

Методы подпространства Крылова могут решить особую систему, удалив нулевое пространство из подпространства Крылова, в котором они ищут решение. Однако это не означает, что вы получите решение , соответствующее заданному соглашению, вам всегда нужно будет самостоятельно определять константу на этапе постобработки, никакой решатель не сможет сделать это за вас.$p$

Вот несколько советов по решению вашей проблемы:

• Уравнение (2) кажется странным. Если является функцией от как она может быть вне интеграла?$\nu$$x$
• Ваше поле скоростей удовлетворяет ограничению совместимости?
• Постарайтесь ничего не делать для давления, просто дайте решающему свободно выбрать , а затем посмотрите на . Это константа?$p$$p-p_\mathrm{exact}$
• Если нет, то уверены ли вы, что нулевое пространство действительно является тождественным вектором и ничего более? И на бумаге, и в коде? Проблема кажется достаточно маленькой, чтобы фактически вычислить нулевое пространство.$B$

Что касается (Q1), вы можете выбрать решатель для задач седловой точки, который вычисляет решение наименьших квадратов для вашей системы. Тогда к множителю может быть наложено дополнительное условие, например установка определенной степени свободы, наложение определенной средней величины.

В общем, и я думаю, что это ответы (Q1), вы можете использовать линейное ограничение, которое может различать разные константы.

Это ограничение может быть наложено на этапе постобработки или путем выбора подходящего пробного пространства (например, если вы пропустите одну степень свободы).