Разностная схема для «волнового уравнения», метод характеристик

10

Рассмотрим следующую задачу где форсирующий член может зависеть от (см. Формулировку 1 ниже для формулировки), а также от и его первых производных. Это 1 + 1 мерное волновое уравнение. У нас есть начальные данные, прописанные в .

Wuv=F
u,vW{u+v=0}

Меня интересует решение внутри области зависимости интервала и я рассматриваю следующую конечно-разностную схему.

{u+v=0,u[uM,uM]}
  • Цель состоит в том, чтобы развить помощью и аналогично . Эта схема интегрируема в том смысле, что поэтому я могу последовательно вычислять из исходных данных путем интегрирования вверх; следовательно, мне действительно нужно взглянуть на эволюционные уравнения для и .WuWu(u,v+1)Wu(u,v)=F(u,v)Wv(u+1,v)Wv(u,v)=F(u,v)
    W(u,v)+Wu(u,v)+Wv(u+1,v)=W(u+1,v+1)=W(u,v)+Wv(u,v)+Wu(u,v+1)
    WWvWu
  • Для исходных данных нам понадобится условие совместимости . Что говорит о том, что я могу вычислить исходные данные, используя прямую (в ) конечную разностьWu(u,v)Wv(u+1,v1)=W(u+1,v1)W(u,v)u в начальный момент времени со значениями заданного W t в полуцелых точках ( u + 0,5 , v - 0,5 ) .WWt(u+0.5,v0.5)

Вопрос :

  1. Это хорошо известная схема? В частности, где я могу найти анализ этой схемы?
  2. Любая вещь очевидная, которую я должен высматривать?

Предыстория : притвориться, что я почти ничего не знаю (что, вероятно, верно, поскольку я чистый математик, пытающийся немного освоить вычислительную технику).


Редактировать 1 : Просто чтобы уточнить (чтобы обратиться к некоторым комментариям): уравнение в координатах будет а и являются «нулевыми координатами», заданными (до некоторых перенормировочных коэффициентов 2) и . Таким образом, начальные данные в фактически находятся в .x t

WttWxx=F
uvu=t+xv=tx{u+v=0}{t=0}

Поэтому вместо сетки, адаптированной к я рассматриваю сетку, адаптированную к которая «повернута на 45 градусов». По сравнению с где принимают целочисленные значения, можно считать сетка имеет дополнительные точки, в которых оба (но не только одно из) и принимают половинные целые значения.(t,x)(u,v)(t,x)t,xu,vtx

Вилли Вонг
источник
Я немного смущен вашими подписчиками, но мне кажется, что это своего рода конечно-разностная формулировка во временной области . , , возможно с шахматной сетчатой ​​формулировкой (половина индексов?).
Meawoppl
1
@meawoppl: он просто вызывает свои переменные вместо x , t, как это обычно делается. (В обычной формулировке u , v они также повернуты на 45 в плоскости пространства-времени против x , t , но это отдельный вопрос.)u,vx,tu,v45x,t
Вольфганг Бангерт
Я отредактировал, чтобы разъяснить (объяснение Вольфганга Бангерта - то, что я имел в виду).
Вилли Вонг

Ответы:

6

Существует определенная литература по таким схемам. Два ключевых слова

  • Модифицированный метод характеристик
  • Полулагранжевы схемы

После 20 минут поиска в Google: некоторые, возможно, важные документы: http://dx.doi.org/10.1137/0719063 и http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (поиск вперед оттуда). Это, вероятно, не самые лучшие ссылки, но они должны стать отправной точкой, чтобы вы получили правильную литературу.

WttWxx=F
u=t+x,    v=tx.
, оба из которых являются точными первого порядка.

F=0FF=0FF имеет какие-то чисто мнимые собственные значения, схема будет неустойчивой.

Общий подход к дискретизации редукции PDE к системе ODE (как в вашем методе) известен как метод линий. Как и с любым методом дискретизации линий, вы можете повысить порядок точности, используя решатель ODE более высокого порядка, и повысить стабильность, используя соответствующий неявный решатель ODE (с сопутствующим увеличением вычислительных затрат на шаг).

Дэвид Кетчесон
источник
«но Google поможет вам больше» На самом деле это одна из больших проблем. Я не совсем уверен, для чего Google (я подозреваю, что числовая литература может использовать некоторые термины из чистой литературы). Если бы вы могли предложить некоторые ключевые слова, которые я должен искать, я был бы благодарен. («Метод линий», например, указывает мне на истинное богатство информации [возможно, даже немного, чтобы я смог отфильтровать :-)].)
Вилли Вонг
@WillieWong - Одна из ссылок на гиперболические уравнения, которую мы обычно приводим, - это метод конечных объемов Левека для гиперболических задач . Я не уверен, что это правильный выбор для начала, но он по крайней мере предоставит вам введение в термины и методы в этой области.
Арон Ахмадиа
Хорошо, я добавил несколько ключевых слов и ссылок. Я надеюсь, что они помогают.
Дэвид Кетчон
Большое спасибо за ссылки! Это дало мне хорошее начало.
Вилли Вонг
5

Начиная с того места, где Дэвид Кетчон оставил меня в своем ответе, немного больше поиска выявило некоторые исторические заметки.

Схема, которую я изложил выше, была рассмотрена еще в 1900 г. Ж. Массау в « Mémoire sur l'integration графике desquations aux dérivées partielles» . Работа переиздана в 1952 г. Г. Дельпорте, Монс.

Первый (хотя и краткий) современный анализ его сходимости и тому подобное были даны Курантом, Фридрихсом и Леви в их классической статье 1928 года по математике. Энн.

Вилли Вонг
источник
Вау, я не могу поверить, что я не осознавал, что это было в газете CFL ...
Дэвид Кетчон