Иллюстративные примеры миметических методов конечных разностей

Столько, сколько я пытаюсь найти краткое объяснение в Интернете, я не могу понять концепцию миметической конечной разницы, или как она вообще связана со стандартными конечными разностями. Было бы очень полезно увидеть несколько простых примеров того, как они реализованы для классических линейных уравнений в частных производных (гиперболический, эллиптический и параболический).

Не уверен, что это именно тот ответ, который вы хотели, но, учитывая, что никто не ответил, я могу упомянуть GPL- инструмент MATLAB Reservoir Toolbox , который использует миметические решатели для уравнений давления при моделировании пласта. Видя, как это уравнение, сводится к типичному эллиптическому тестовому уравнению, (Пуассон) для отношения постоянной проницаемости / вязкости, вы, вероятно, можете получить некоторые понимание из решателей MRST. MRST поддерживает полностью неструктурированные сетки с использованием различных методов миметиков, где под миметикой здесь понимается имитация внутреннего продукта, необходимого для настройки уравнений баланса массы. Вам, вероятно, не понадобится какое-либо понимание моделирования пласта, чтобы понять это.

Хороший пример для начала описан здесь . В приведенных примерах используется функциональность блочного сценария MATLAB, где вы можете использовать shift-enter для пошагового выполнения шагов и проверки данных на каждом шаге.

Соответствующие статьи можно найти здесь . В первой статье описывается составление внутреннего миметического продукта, чтобы вы могли прочитать код. Если у вас нет MATLAB или вы не знакомы с языком, это, вероятно, не очень полезно - но я думаю, что простые примеры также должны быть совместимы с Octave.

Существует магистерская работа «Сравнение миметических и двухточечных схем аппроксимации потоков на PEBI-сетках», в которой подробно рассматриваются некоторые детали, а в разделе 7.3, в частности, делается небольшой пример вручную.

$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$

Построение дискретного исчисления происходит в два этапа. Сначала мы выбираем дискретную форму для одного из фундаментальных операторов, называемого простым оператором. Затем на основе некоторого подмножества дифференциальных и интегральных тождеств, которые мы хотим поддерживать, мы строим другой фундаментальный оператор (ы), называемый производными операторами. Выбор простого оператора зависит от приложения и дискретизации. В некотором смысле простой оператор «поддерживает» конструкцию производных операторов. Законы сохранения, симметрии решений и сопряженные соотношения между дифференциальными операторами являются примерами свойств, которые мы хотим, чтобы дискретные операторы имитировали.

Например, SOM-дискретизация уравнения линейной диффузии, имитирующая миметическую дискретизацию

1. Теорема Гаусса-Грина для обеспечения соблюдения локального закона сохранения
2. $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Гарантированная симметрия и положительность произведения дискретной дивергенции и дискретного потока
4. Нулевое пространство оператора дискретного потока является постоянными функциями.

Полная информация о миметической дискретизации уравнения диффузии доступна в 1D или 2D .

Смотрите тезис Jerome Bonelle , который доступен на его веб - сайте или непосредственно здесь . Я нашел, что его главы 2 - 4 довольно легко читаются и дают хорошее введение. Он также рассказывает о двух примерах, одном эллиптическом уравнении частных уравнений и уравнениях Стокса.