Почему равноотстоящие точки ведут себя плохо?

24

Описание эксперимента:

При интерполяции Лагранжа точное уравнение выбирается в точках (порядок полиномов ) и интерполируется в 101 точке. Здесь изменяется от 2 до 64. Каждый раз , когда готовятся графики ошибок , и . Видно , что, когда функция дискретизируются на равноразнесенные точках, ошибка изначально падает (это происходит до меньше , чем примерно 15 или около того ) , а затем ошибки идет вверх при дальнейшем увеличении . $N$ $N - 1$ $N$ $L_1$ $L_2$ $L_\infty$ $N$ $N$

Принимая во внимание, что если первоначальная выборка выполняется в точках Лежандра-Гаусса (LG) (корни полиномов Лежандра) или в точках Лежандра-Гаусса-Лобатто (LGL) (корни полиномов Лобатто), ошибка падает до уровня машины и не увеличивается, когда еще больше увеличивается. $N$

Мои вопросы

Что именно происходит в случае равноотстоящих точек?

Почему увеличение в полиномиальном порядке приводит к увеличению ошибки после определенной точки?

Означает ли это также, что если я буду использовать равные точки для реконструкции WENO / ENO (используя многочлены Лагранжа), то в гладкой области я получу ошибки? (ну, это только гипотетические вопросы (для моего понимания), на самом деле не разумно восстанавливать полином порядка 15 или выше для схемы WENO)

Дополнительные детали:

Функция приблизительная:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ , $x \in [-1, 1]$

$x$ делится на равнораспределенных (и позже LG) точек. Функция интерполируется каждый раз по 101 точке. $N$

Полученные результаты:

а) равноотстоящие точки (интерполяция для ): $N = 65$

введите описание изображения здесь

б) равноотстоящие точки (график ошибок, логарифмическая шкала):

введите описание изображения здесь

а) Точки LG (интерполяция для ): $N = 65$
б) Точки LG (график ошибок, логарифмическая шкала):

введите описание изображения здесь

finite-difference interpolation error-estimation polynomials Subodh
источник

26

Проблема с равноотстоящими точками состоит в том, что ошибка интерполяции является полиномом, т.е.

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), ξ \in [x_{0}, x_{n}]

$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$

ведет себя по-разному для разных наборов узлов . В случае равноотстоящих точек этот многочлен взрывается по краям. $x_i$

Если вы используете точки Гаусса-Лежандра, многочлен ошибки ведет себя значительно лучше, то есть он не взрывается по краям. Если вы используете чебышевские узлы , это полиномиальное равноосцилляция, и ошибка интерполяции минимальна.

Pedro
источник

6

Существует довольно подробное объяснение в книге Джона П. Бойда Чебышева и «Спектральные методы Фурье», где полиномиальная ошибка интерполяции Педро также легко объяснена (Глава 4.2, стр. 85).

Борт

Спасибо. Также константа Лебега для вышеупомянутых выборов ведет себя по-разному. Для равноотстоящих точек постоянная Лебега экспоненциально возрастает, тогда как для LG, LGL, Чебышева она как бы насыщается с ростом n. en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf , но вопрос относительно численной реализации по-прежнему остается ...

Subodh

Извините, я мало что знаю о ENO / WENO. Но я не ожидаю проблем в гладкой области для интерполяции низкого порядка, хотя квадратурные узлы, безусловно, являются лучшим выбором по понятным причинам.

Борт

22

Это действительно интересный вопрос, и есть много возможных объяснений. Если мы пытаемся использовать полиномиальную интерполяцию, то обратите внимание, что полином удовлетворяет следующему раздражающему неравенству

Учитывая полином степени, не превосходящей имеем $P$ $N$

| P^{'} (x) | \leq \frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}} max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$

за каждый . Это известно как неравенство Бернштейна , обратите внимание на особенность в этом неравенстве. Это может быть ограничено неравенством Маркова $x \in (-1,1)$

max_{x} | P^{'} (x) | \leq N^{2} max_{x} | P (x) |

$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$

и обратите внимание , что это острый в том смысле , что Chebysehv полиномы сделать это уравнение. Другими словами, у нас есть следующая объединенная граница.

| P^{'} (x) | \leq min (\frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}}, N^{2}) max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$

Что это означает: градиенты многочленов растут линейно в своем порядке везде, кроме небольших окрестностей границ интервалов. На границах они становятся больше похожими на . Не случайно все стабильные интерполяционные узлы имеют кластеризацию вблизи границ. Кластеризация необходима для управления градиентами базиса, в то время как вблизи средней точки можно быть немного более расслабленным. $N^2$ $1/{N^2}$

Однако оказывается, что это не обязательно явление полинома, я предлагаю следующую статью:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

Он говорит свободно: если у вас одинаковая степень аппроксимации полиномиального базиса, то вы не можете использовать одинаково расположенные точки стабильно.

Reid.Atcheson
источник

1

Проблема не в одинаково разнесенных точках . Проблема заключается в глобальной поддержке базисных функций и равноотстоящих точек. Идеально хорошо обусловленный интерполянт, использующий одинаково разнесенные точки, описан в численном анализе Кресса с использованием базисных функций кубического сплайна компактного носителя.

user14717
источник

конечно, но тогда ваш интерполант не будет глобально гладким (только для вашего примера)

C^{2}

$C^2$

GoHokies

@ GoHokies: компактно поддерживаемые сплайны могут быть сделаны настолько гладкими, насколько это необходимо с помощью итеративной свертки. Какой вариант использования для интерполяции?

C^{\infty}

$C^{\infty}$

user14717

Честная оценка. («положение-скорость-ускорение») достаточно для большинства приложений. Вы можете захотеть для некоторых краевых задач, но не можете придумать ни одного общего случая использования выше этого.

C^{2}

$C^2$

C^{4}

$C^4$

GoHokies

1

Что именно происходит в случае равноотстоящих точек?

Почему увеличение в полиномиальном порядке приводит к увеличению ошибки после определенной точки?

Это похоже на феномен Рунге, когда с равноотстоящими узлами ошибка интерполяции стремится к бесконечности с увеличением степени полинома, то есть количества точек.

Один из корней этой проблемы можно найти в константе Лебега, как отмечено в комментарии @ Subodh к ответу @Pedro. Эта константа связывает интерполяцию с наилучшим приближением.

Некоторые обозначения

У нас есть функция для интерполяции по узлам . В лагранжевой интерполяции определены полиномы Лагранжа : $f \in C([a,b])$ $x_k$

L_{k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}}

$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$

при этом определяется полином интерполяции по парам для легкой записи $p_n \in P_n$ $(x_k, f(x_k))$ $(x_k, f_k)$

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} L_{k} (x)

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$

Теперь рассмотрим возмущение данных, это может быть, например, округление, поэтому мы получили . При этом новый полином : $\tilde{f}_k$ $\tilde{p}_n$

{\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\tilde{f}}_{k} L_{k} (x)

$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$

Оценки ошибок:

p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (f_{k} - {\tilde{f}}_{k}) L_{k} (x)

$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$

| p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{n} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} | | L_{k} (x) | \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

Теперь можно определить константу Лебега как: $\Lambda_n$

Λ_{n} = max_{x \in [a, b]} \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

При этом окончательные оценки:

| | p_{n} - {\tilde{p}}_{n} | |_{\infty} \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) Λ_{n}

$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$

(примечание на полях, мы смотрим только norm также потому, что мы находимся над пространством конечной меры, поэтому ) $\infty$ $L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

Из приведенного выше расчета мы получили, что : $\Lambda_n$

независимо от даты:
зависит только от распределения узлов;
показатель стабильности (чем он меньше, тем лучше).

Это также норма оператора интерполяции относительно норма. $|| \cdot||_\infty$

Используя следующую теорему, мы получили оценку погрешности интерполяции с постоянной Лебега:

Пусть и как указано выше, имеем где - ошибка по полиному с наилучшим равномерным приближением $f$ $p_n$
$| | f - p_{n} | |_{\infty} \leq (1 + Λ_{n}) d_{n} (f)$ $|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$ $d_{n} (f) = inf_{q_{n} \in P_{n}} | | f - q_{n} | |_{\infty}$ $d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$

Т.е., если мало, ошибка интерполяции находится недалеко от ошибки наилучшего равномерного приближения, и в теореме сравнивается ошибка интерполяции с наименьшей возможной ошибкой, которая является ошибкой наилучшего равномерного приближения. $\Lambda_n$

Для этого поведение интерполяции зависит от распределения узлов. Нижний предел для состоит в том, что при заданном распределении узлов существует константа такая, что: поэтому константа растет, но как она растет importan. $\Lambda_n$ $c$

Λ_{n} \geq \frac{2}{π} \log (n) - c

$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$

Для равноотстоящих узлов я пропустил некоторые детали, но мы видим, что рост экспоненциальный.

Λ_{n} \approx \frac{2^{n + 1}}{e n \log (n)}

$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$

Для чебышевских узлов также здесь я опустил некоторые детали, есть более точные и сложные оценки. Смотрите [1] для более подробной информации. Обратите внимание, что узлы семейства Чебышевских имеют логарифмический рост, и, исходя из предыдущих оценок, это почти лучшее, что вы можете получить.

Λ_{n} \leq \frac{2}{π} \log (n) + 4

$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$

Для других распределений узлов см., Например, таблицу 1 этой статьи .

В книге много упоминаний об интерполяции. В режиме онлайн эти слайды хороши в качестве резюме.

Также эта открытая статья ([1])

Численное интерполяционное сравнение семи сеток для полинома на интервале для различных сравнений.

Мауро Ванзетто
источник

1

Хорошо знать о интерполантах Флоатера-Хормана, когда вам нужно (или вы хотите) работать с равноотстоящими точками . $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

Учитывая целое число с , пусть будет полиномиальным интерполантом . Тогда FH-интерполант функции в имеет вид $d$ $0 \le d \le n$ $p_i$ $\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$ $f$ $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

r_{n} (x) := \frac{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x) p_{i} (x)}{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x)}

$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$

с "функциями смешивания"

λ_{i} (x) = \frac{(- 1)^{i}}{(x - x_{i}) \dots (x - x_{i + d})}

$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$

Некоторые свойства этих интерполантов:

они являются барицентрическими рациональными интерполантами без реальных полюсов ;
достичь произвольных порядков аппроксимации для , независимо от распределения точек; ${\cal O}(h^{d+1})$ $f \in C^{d+2}[a,b]$
чем-то похожи на сплайны тем, что они смешивают (локальные) полиномиальные интерполанты с , действующими как функции смешивания; $p_0, \ldots p_{n-d}$ $\lambda$
они воспроизводят многочлены степени не более (или если нечетно); $d$ $d+1$ $n-d$
может быть написано в барицентрической форме (см. раздел 4 статьи Флоатера и Хорманна).

Предостережение emptor : Как и ожидалось (см. Статью, на которую ссылается @ Reid.Atcheson), увеличение быстро ухудшает условия процесса аппроксимации. $d$

Кляйн проделал довольно недавнюю работу по решению этой проблемы. Он изменил исходный подход Флоатера-Хормана, добавив новых значений данных, соответствующих точкам за пределами исходного интервала интерполяции построенного из плавного расширения вне используя только заданные данные . Этот «глобальный» набор данных затем интерполируется новой рациональной функцией FH и оценивается только внутри . $2 d$ $[a,b]$ $f$ $[a,b]$ $f_0, \ldots f_n$ $r_{n+2d}$ $[a,b]$

Детали хорошо изложены в статье Кляйна (ссылка приведена ниже), где показано, что эти расширенные рациональные интерполанты имеют константы Лебега, которые логарифмически растут с и (тогда как для исходной схемы FH указанный рост экспоненциально по , см. Bos и др. ). $n$ $d$ $d$

Библиотека Chebfun использует интерполяции FH при построении chebfunsиз равноотстоящих данных, как описано здесь .

Ссылки:

М. С. Флоатер и К. Хорманн, Барицентрическая рациональная интерполяция без полюсов и высоких скоростей аппроксимации, Numerische Mathematik 107 (2007).

Г. Клейн, Расширение семейства блоцентрических рациональных интерполантов Флоатера – Хормана, Математика вычислений , 82 (2011) - препринт

Л. Бос, С. Де Марчи, К. Хорманн, Г. Кляйн, О константе Лебега барицентрической рациональной интерполяции в равноотстоящих узлах, Нумер. Математика 121 (2012)

GoHokies
источник

Почему равноотстоящие точки ведут себя плохо?

Ответы: