Роль числового потока в DG-FEM

Я изучаю теорию, лежащую в основе методов DG-FEM, используя книгу Хестхейвена / Варбертона, и меня немного смущает роль «числового потока». Я прошу прощения, если это основной вопрос, но я посмотрел и не нашел удовлетворительного ответа на него.

Рассмотрим линейное скалярное волновое уравнение: где линейный поток задан как ,f(u)=a

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$$ $f(u) = au$

Как показано в книге Хестхейвена, для каждого элемента мы получаем N уравнений, по одному для каждой базисной функции, что приводит к слабому исчезновению остатка:$k$$N$

$$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$$

$$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$$

Хорошо. Таким образом, мы проходим интегрирование по частям один раз, чтобы прийти к «слабой форме» (1), и интегрируем по частям дважды, чтобы получить «сильную форму» (2). Я приму излишнюю, но легко обобщенную поверхностную интегральную форму Хестхейвена в 1D:

(1)

$$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$$

(2)

$$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$$

Почему мы выбираем числовой поток? Почему бы нам не использовать значение на границе в (1) вместо потока? Да, это правда, что значение этой величины может быть многократно определено по элементам, но каждое уравнение состоит только из 1 элемента , так почему это имеет значение? д $au_h^k$$D^k$

Кроме того, граничный член второго интегрирования по частям явно дает другую величину во второй раз в (2), что для меня не имеет смысла. Мы делаем ту же операцию! Почему два граничных условия просто не отменяются, делая (2) бесполезным? Как мы ввели новую информацию?$au_h^k$

Очевидно, я упускаю что-то важное для метода, и я бы хотел это исправить. Я провел некоторый реальный и функциональный анализ, поэтому, если есть более основанный на теории ответ относительно формулировки, я хотел бы знать!

Числовой поток выбирается так, чтобы информация в задаче перемещалась в направлении характеристических кривых уравнения (вверх). Как упомянуто в комментариях, числовой поток необходим, чтобы соединить подзадачи, определенные для каждого элемента.

Один из способов получить представление о роли числового потока - рассмотреть следующий простой пример.

Рассмотрим скалярное уравнение адвекции (где для простоты ) где домен определяется как . Поскольку это гиперболическое уравнение, а информация распространяется слева направо, нам необходимо обеспечить выполнение граничного условия при (но не при ). Для конкретности предположим, что мы применяем условие Дирихле для некоторого заданного .$a=1$

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$$ $\Omega = [0,1]$$x = 0$$x = 1$$u(0,t) = g_D$$g_D$

Предположим теперь, что мы дискретизируем это уравнение с использованием метода DG и используем два элемента: и . В равной степени мы могли бы дискретизировать следующий набор из двух связанных PDE: где мы объединяем эти уравнения, чтобы сделать их эквивалентными оригиналу уравнение.$D_1 = [0,1/2]$$D_2 = [1/2,1]$

$$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$$

Чтобы сделать вышеприведенные уравнения корректными, нам нужно применить граничные условия. Как и прежде, каждое уравнение является гиперболическим, а информация распространяется слева направо. Следовательно, нам нужно применить граничное условие для (PDE 1) в левой конечной точке и граничное условие для (PDE 2) в левой конечной точке .$D_1$$D_2$

Граничное условие в левой конечной точке должно быть выбрано равным , чтобы оставаться в согласии с исходной задачей. Мы также ищем гладкие решения, поэтому для обеспечения непрерывности необходимо выбрать граничное условие на левой конечной точке . Это условие гласит ш ( 1 / 2 , т ) = V ( 1 / 2 , т ) .$D_1$$v(0,t) = g_D$$D_2$$w(1/2,t) = v(1/2,t)$

Метод DG в этом случае выбирает числовые потоки именно для обеспечения соблюдения вышеуказанных граничных условий. Если умножить на основную функцию $\psi$ и интегрирование по частям по каждому элементу $D_k$ , получаем граничные условия вида

$$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$$ Для тогочтобы «слабо» соблюдения граничных условий, заменит$v$и$w$с заданными значениями в тех точкахгде указаны граничные условия (т.е. левых концов$D_1$и$D_2$). Это означаетмы заменим$v(0,t)$по$g_D$и$w(1/2,t)$с$v(1/2,t)$ в граничных интегралах.

Другими словами, мы определим $u_h^* = g_D$ при $x = 0$ и $u_h^* = v(1/2,t)$ при $x=1/2$ , и мы восстановить в точности стандартного против ветра поток , который используется в DG метод.

Глядя на вещи таким образом, мы можем рассматривать числовые функции потока как слабо навязывающие граничные условия для каждого элемента, которые необходимы для объединения уравнений таким образом, чтобы соблюсти характеристическую структуру уравнений.

Для уравнений более сложных, чем адвекция с постоянными коэффициентами, информация может распространяться не всегда в одном и том же направлении, и поэтому численный поток должен быть определен путем решения (или приближения к решению) задачи Римана на границе раздела. Это обсуждается для линейных задач в разделе 2.4 книги Хестхейвена.

Грубо говоря, есть две вещи, которые необходимы большинству методов дискретизации для того, чтобы приблизиться к реальному решению вашего PDE при увеличении качества их аппроксимации, независимо от того, используете ли вы DG или нет:

1. $u$
2. Стабильность (небольшие изменения в данных приводят к небольшим изменениям в ответе)

Первые шаги деривации DG, когда вы интегрируете по частям в каждом элементе сетки, сохраняют (1), потому что вы начинаете с PDE и применяете только легальные операции оттуда.

Это не дает вам (2), хотя. Вы можете убедиться в этом сами, попытавшись собрать матрицу частично сформулированной слабой формы ДГ и взглянув на ее собственные значения - для задачи, зависящей от времени, мы хотим, чтобы они все были в левой полуплоскости, но без надлежащего числового потока они будут повсюду. Это приводит к решению, которое взрывается экспоненциально во времени, даже если физическая проблема этого не делает.

$u$

Хитрость заключается в том, чтобы брать комбинации прыжков и средних и комбинировать их таким образом, чтобы ваша схема все еще была последовательной, но и стабильной. После этого обычно проявляется теорема о сходимости.

Это основа, но вы также можете часто вносить дополнительную физику в числовой поток, чтобы он не просто удовлетворял этим математическим требованиям, но и прекрасно сочетался с принципами сохранения.

Когда вы выбираете тестовую функцию, равную пробной функции в методе DG, вы создаете задачу оптимизации. То есть у вас есть метод Галеркина, а не метода Петрова-Галеркина. Вы ищете производные по времени амплитуды пробной функции, которые минимизируют остаточный элемент в норме L2, и вы делаете это минимизацию в предположении заданной функции потока при входе.