Какова цель тестовой функции в конечно-элементном анализе?

В волновом уравнении:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Почему мы сначала умножаем на тестовую функцию $v(x,t)$ перед интегрированием?

finite-element Энди
источник

Краткий ответ: потому что метод конечных элементов - это дискретизация слабой формулировки, а не сильной формулировки (которую вы дали). Средний ответ: потому что вы не можете быть уверены, что найдете конечномерную функцию, которая удовлетворяет уравнению; в лучшем случае вы можете надеяться, что остаток будет ортогональным к конечномерному пространству решений - или эквивалентно, ортогональным любому элементу этого пространства (который является в точности тестовой функцией). Интеграция по частям не так важна, и в вашем случае ради симметрии. Длинный ответ слишком длинен для комментария :)

Кристиан Клэйсон

Еще одно краткое объяснение: если вы просто интегрируете и устанавливаете в ноль, вы просите, чтобы среднее значение исчезло - совсем не то, что вы ищете, потому что тогда остаток может быть очень большим в одной части домена, если это большой с противоположным знаком в другом. Тестовые функции по сути «локализуют» остаток каждого элемента.

Кристиан Клэйсон

Альтернативное объяснение см. В следующем ответе: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

Павел

Ответы:

Вы идете в обратном направлении. Обоснование лучше видно, начиная с вариационной обстановки и работая над сильной формой. Как только вы это сделаете, концепция умножения на тестовую функцию и интегрирования может быть применена к задачам, когда вы не начинаете с проблемы минимизации.

Итак, рассмотрим проблему, где мы хотим минимизировать (и работать здесь формально, а не строго):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

с учетом некоторых граничных условий на . Если мы хотим, чтобы это достигло минимума, мы должны дифференцировать его по отношению к , что является функцией. В настоящее время существует несколько способов рассмотреть этот тип производной, но один из способов, которым он был представлен, - это вычислить $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

где просто скаляр. Вы можете видеть, что это похоже на традиционное определение производной для скалярных функций скалярной переменной, но распространяется на функционалы типа которые возвращают скаляры, но имеют свою область над функциями. $h$ $I$

Если мы вычислим это для нашего (в основном используя правило цепочки), мы получим $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Устанавливая это в ноль, чтобы найти минимум, мы получаем уравнение, которое выглядит как слабое утверждение для уравнения Лапласа:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Теперь, если мы используем теорию дивергенции (многомерное интегрирование по частям), мы можем взять производную от и положить ее на чтобы получить $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Теперь это действительно выглядит, когда вы начинаете, когда вы хотите построить слабое утверждение из уравнения в частных производных. Учитывая эту идею сейчас, вы можете использовать ее для любого PDE, просто умножить на тестовую функцию, интегрировать, применить теорему расхождения и затем дискретизировать.

Билл Барт
источник

Я бы предпочел объяснить это с точки зрения минимизации взвешенного остатка.

Никогуаро

@nicoguaro, хорошо, тогда вы можете написать этот ответ, и мы увидим, какой из них имеет больше смысла для ОП. :)

Билл Барт

+1 за указание на то, что слабая форма на самом деле (или, по крайней мере, часто) более естественна, чем сильная форма.

Кристиан Клэйсон

Интересный. Какая-то касательная, но в отношении «Есть несколько хорошо продуманных способов рассмотреть этот тип производной» : единственный метод, который я изучил, - это тот, который вы упомянули. Какие еще есть виды?

user541686 30.07.15

h

$h$

Как я упоминал ранее, я предпочитаю думать о слабой форме как о взвешенном остатке.

$\hat{u}$ . Давайте определим остаток как

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

$R$ «маленьким». Таким образом, мы можем попытаться минимизировать норму невязки (например, методы наименьших квадратов) или ее среднее значение. Один из способов сделать это - вычислить взвешенный остаток, то есть минимизировать взвешенный остаток

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

$w$ $\hat{u}$ Галеркина), дельта - функции Дирака (методы коллокации), или фундаментального решения (граничных элементов метода).

Если вы выберете первый случай, вы получите уравнение, подобное описанному @BillBarth.

nicoguaro
источник