Проверка в задачах на собственные значения

Давайте начнем с проблемы формы

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

с набором заданных граничных условий ( Дирихле , Неймана , Робина , Периодического , Блох-Периодического ). Это соответствует нахождению собственных значений и собственных векторов для некоторого оператора $\mathcal{L}$ при некоторой геометрии и граничных условиях. Подобную проблему можно получить, например, в акустике, электромагнетизме, эластодинамике, квантовой механике.

Я знаю, что можно дискретизировать оператора, используя различные методы, например, конечно-разностные методы для получения

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

или используя методы конечных элементов для получения

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

В одном случае получение задачи на собственные значения и обобщенной задачи на собственные значения в другом. После получения дискретной версии задачи используется решение для задачи на собственные значения.

Некоторые мысли

Метод Изготовленных Решений в этом случае бесполезен, так как отсутствует исходный член для балансировки уравнения.
Можно проверить, что матрицы и хорошо захвачены, используя проблему частотной области с источником члена, например $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
вместо того

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Но это не проверит решающие проблемы.
Может быть, можно сравнить решения для разных методов, таких как FEM и FDM.

Вопрос

Как проверить решения (пары «собственное значение - собственный вектор») для схем дискретизации, используя численные методы, такие как FEM и FDM, для задач на собственные значения?

pde finite-element eigensystem verification Никогуаро
источник

Можете ли вы сравнить свои результаты со спектрами для известных случаев (квадрат, куб, круг, сфера)? Существуют также ожидаемые скорости сходимости для собственных векторов и собственных значений в соответствующих нормах, которые вы можете проверить (хотя эти показатели, как правило, варьируются в зависимости от частоты - см. Journals.cambridge.org/action/… )

Джесси Чан,

Да, вы можете сравнить с аналитическими решениями. Но обычно они предусмотрены для действительно простых случаев. Вопрос в том, как сделать процесс проверки. Если есть что-то похожее на метод ой, изготовленные решения. Или, если вы должны объединить этот метод для других задач с аналитическими решениями.

Никогуаро

В одном измерении, если вы начинаете с желаемых

и имеете

, вы можете попытаться разложить

, если такие

существуют, и затем бегите с

. Полагаю, это может испортить симметрию

и другие свойства. Здесь

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ должен быть линейно независимым и не может исчезать в одной точке.

Кирилл

@JesseChan, спасибо за предложенное чтение. Это заняло у меня некоторое время, но я прочитал это. Я не думаю, что они предоставляют достаточно информации для желаемой цели.

Никогуаро

Я хочу быть уверен, что правильно вас понял. Вы хотите знать, как оценить расстояние между вычисленными собственными парами для дискретного оператора (матрицы или матрицы) и соответствующей собственной парой для гладкого оператора? Или вы хотите сейчас, как оценить точность, с которой вы решили проблему дискретных собственных значений?

Карл Кристиан

Ответы:

Я понимаю, что этот вопрос старый, но я только увидел его и нашел его интересным. В прошлом я следовал предложениям, содержащимся в комментариях к этому вопросу, в сочетании с некоторыми более сложными случаями, с которыми я знаком в литературе (Орр-Зоммерфельд всегда удобен).

Однако мне также известна некоторая литература по неоднородным проблемам собственных значений, возникающим при построении готового решения. Здесь обсуждаются некоторые проблемы: DOI: 10.1016 . Эти авторы также предлагают так называемый метод изготовленных поперечных сечений (MXS, я полагаю), чтобы вообще избежать этой проблемы, которую я не буду притворяться понимать в данный момент, но она вполне может быть полезной.

Спенсер Брингельсон
источник

То, что они предлагают как «неоднородную проблему собственных значений», - это подход, который я предложил в своем первоначальном посте. Я все еще пытаюсь понять Метод Изготовленных Поперечных сечений, все же.

Никогуаро

Я осознаю это, просто предполагая, что для таких проблем существует некоторая литература, поэтому она не может быть тупиковой, как вы предложили: «Производственные решения в этом случае бесполезны, так как не существует исходного термина для баланса уравнения».

Спенсер Брингельсон

Это не критика вашего поста. Наоборот! Я просто комментирую то, что нашел после прочтения ссылки для продвижения обсуждения.

Никогуаро

Для производной второго порядка (и лапласиана на простых областях) доступны выражения для дискретных собственных пар (т.е. после дискретизации). Например, для конечных разностей, собственные пары перечислены здесь .

Выражение для собственных пар с конечно-элементной дискретизацией может быть найдено аналогично (для дискретизации P1 и P2).

user7440
источник