Как насчет этой простой оценки ошибки для линейного PDE?

10

Пусть - выпуклая полигонально ограниченная липшицева область в , пусть .R 2 f L 2 ( Ω )ΩR2fL2(Ω)

Тогда решение задачи Дирихле в , в имеет единственное решение в и корректно, т. Е. Для некоторой константы имеем .Δu=fΩtraceu=0ΩH2CuH2CfL2

Для некоторого приближения конечных элементов uh , скажем, с узловыми элементами на равномерной сетке, мы имеем оценку ошибки

uuhH1ChuH2

Кажется (возможно, я ошибаюсь с этим), что люди обычно не используют очевидную оценку ошибки

uuhH1ChfL2

который мы можем получить путем комбинации двух вышеупомянутых неравенств. Вместо этого апостериорные оценщики ошибок разрабатываются в различных формах. Единственное возражение, которое я могу себе представить против приведенного выше уравнения, заключается в том, что на практике константа C может быть слишком пессимистичной или ненадежно оцениваемой.

shuhalo
источник

Ответы:

8

Причина, по которой люди предпочитают использовать первую оценку, на мой взгляд, состоит в том, что первая естественным образом возникает из ортогональности Галеркина в FEM, свойства интерполяционной аппроксимации и, что наиболее важно, коэрцитивности билинейной формы (для краевой задачи уравнения Пуассона , это эквивалентно неравенству Пуанкаре / Фридрихса для функций ): | | у - у ч 2 Н 1 ( Ω )H01

uuhH1(Ω)2c1(uuh)L2(Ω)2(uuh)L2(Ω)2=Ω(uuh)(uuh)=Ω(uuh)(uIu)(uuh)L2(Ω)(uIu)L2(Ω)(uuh)L2(Ω)(uIu)L2(Ω)c2huH2(Ω)
где зависит от константы в неравенстве Пуанкаре / Фридрихса для функций , - это интерполяция в конечном пространство элементов иH 1 0 I u u c 2c1H01Iuuc2 зависит от минимальных углов сетки.

Хотя оценка эллиптической регулярности относится исключительно к уровню PDE, не имеет к этому никакого отношения приближение плюс приведенный выше аргумент верны даже тогда, когда является распределением. f H - 1uH2(Ω)cfL2(Ω)fH1

Теперь перейдем к тому, почему апостериорные оценки ошибок широко используются, главным образом потому, что:

  • Он вычислим, в выражении оценок нет общей константы.

  • Оценщик имеет свою локальную форму, которая может быть индикатором локальной ошибки, используемой в процедуре адаптивного уточнения сетки. Следовательно, проблема с особенностями или действительно «плохими» геометриями может быть решена.

Обе перечисленные вами априорные оценки являются действительными, они предоставляют нам информацию о порядках сходимости, однако ни одна из них не может быть индикатором локальной ошибки только для одного треугольника / тетраэдра, поскольку ни одна из них не может быть вычислена из-за постоянной и при этом они не определены локально.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Для более общего представления о FEM для эллиптических PDE, я настоятельно рекомендую прочитать главу 0 в книге Бреннера и Скотта: математическая теория методов конечных элементов , которая состоит всего из 20 страниц и кратко охватывает почти каждый аспект методов конечных элементов от формулировки Галеркина из PDE до мотивации, почему мы хотели бы использовать адаптивную FEM для решения некоторой проблемы. Надеюсь, это поможет вам больше.

Шухао Цао
источник
1

Ваша оценка слишком пессимистична по двум направлениям. Вы уже определили первый ( теперь включает не только константу интерполяции, но и константу устойчивости). Во-вторых, оценка ошибки действительно гласит: Обратите внимание, что в правой части есть полунорма , а не норма. Конечно, вы можете связать rhs по полной норме, но вы снова проиграете таким образом.| | е | | L 2CCH 2

eL2Ch|u|H2.
H2
Вольфганг Бангерт
источник