Метод конечных элементов против расширенного метода конечных элементов (FEM против XFEM)

9

Каковы основные различия между FEM и XFEM? Когда мы должны (не) использовать XFEM intead FEM и наоборот? Другими словами, когда я сталкиваюсь с новой проблемой, как я могу узнать, какую из них использовать?

Ань Ти ДИНХ
источник
1
В большинстве случаев я сталкивался с XFEM, это было связано с разрывами, связанными с распространением трещин и разрушением в механике твердого тела. Я действительно не видел, чтобы он использовался за пределами этого приложения.
Павел
На самом деле, есть еще много других областей, которые также используют XFEM для решения. Вот почему мне нужно знать способ распознавания этого метода всякий раз, когда я начинаю решать проблему.
Ань Тхи Диньх

Ответы:

11

Метод конечных элементов (FEM) является родительским методом, который вдохновил многих, многих других методов и методов, которые на самом деле являются FEM, но притворяются, что это не так.

В методе конечных элементов «функции формы» используются для обеспечения пространства аппроксимации, так что решение может быть представлено вектором. В классической FEM эти функции формы являются полиномами.

В расширенном методе конечных элементов (XFEM) дополнительные функции «обогащения» используются для аппроксимации решения в дополнение к полиномиальным функциям формы. Эти функции обогащения выбраны так, чтобы иметь свойства, которым, как известно, должно следовать решение.

Наиболее очевидными функциями обогащения XFEM являются степенные функции, введенные на острых углах трещин для представления особенностей градиента решения (т. Е. Особенности напряжения в задачах механики твердого тела). XFEM может использоваться для других функций обогащения и других областей решения (в частности, теплопередачи), но название синонимично с анализом разрушения.

Различие между различными методами - это XFEM или нет? И т. Д. - является хитрым, тонким и неважным.

Что касается использования, XFEM видит очень мало практического использования. Существует несколько приложений в реальных кодах конечных элементов, особенно Abaqus, но они не получили широкого распространения.

Практически для всех практических задач будет использоваться классический FEM. Для большинства задач анализа разрушения классическая FEM все еще может использоваться с подходящим уточнением сетки и / или p-уточнением в области вершины трещины. Другие, менее строгие модели разрушения также могут быть использованы.

Майк
источник
Не желая забирать из этого (превосходного) ответа, сингулярные функции, которые представляют компоненты решения в повторяющихся углах, на самом деле имеют тип рα где р это расстояние до угла, 0<α<1 для смещения (решение) и -1<α<0для стресса (его производная).
Вольфганг Бангерт
@WolfgangBangerth, спасибо! Я отредактировал свой ответ, чтобы сказать «силовые функции», и именно это я и хотел обозначить, хотя он остается неточным. Я чуть не положил sqrt (r) (для закрытой трещины), чтобы нарисовать более четкую картину, но я не был уверен, будет ли это отвлекать. Я знаю, что есть много подробностей о серьезной реализации XFEM (некоторые я изучал, а другие нет).
Майк
@Mike: еще один менее связанный вопрос: в чем разница между PEM с пузырьками P1 и XFEM? Можешь ли ты показать мне?
Anh-Thi DINH
@PoBo, мало похожего. Оба метода включают добавление функций формы без изменения сетки, и оба основаны на одной и той же базовой математике, общей для всего семейства FEM, но на этом сходство заканчивается.
Майк
Если вы плохо разбираетесь в подходе p-версии или функции P-пузыря, вы можете попробовать другой вопрос верхнего уровня или взять одну из книг по нему (Сабо и Бабушка довольно строгие, но намного меньше, чем другие, освещающие р-версию.)
Майк,
7

Оба Майка ответ и Джед один хорошо описывают дихотомии XFEM / FEM и правильно указать, что наиболее важная область применения 3D - механика разрушения, где у вас есть трещины, то есть смещение разрыв через поверхность внутри домена.

Трещины трудно моделировать в классической FEM по двум причинам:

  1. Сетка должна быть конгруэнтной по всей трещине: точнее, трещина должна находиться на границе подобласти FE. Трещина не может лежать внутри (проходить) конечного элемента.

  2. Поле особых напряжений на вершине трещины требует, чтобы с хорошей точностью моделировались специальные элементы и / или методы зацепления (четвертьконечные элементы, сфокусированная сетка).

С инженерной точки зрения в механике разрушения у вас есть два основных типа проблем:

  1. Расчет коэффициента интенсивности напряжений ,

  2. анализ распространения трещин, например, при анализе усталости или устойчивости к повреждениям.

Для первого типа задачи классической МКЭ является более адекватным и стандартным инструмент разработки. (Это потому, что, к счастью, существуют энергетические методы для оценки факторов интенсивности напряжений, которые не чувствительны к числовым ошибкам вблизи вершины трещины.)

Анализ распространения трещин - это совсем другая история: в большинстве случаев вы заранее не знаете пути взлома, поэтому необходимо частое повторное смешивание. Главное обещание XFEM состоит в том, чтобы обеспечить распространение трещин внутри фиксированной сетки FEM, причем трещины проникают не только на границу между поддоменами, но и внутри самих FE.

XFEM - это относительно новая методика, все еще далекая от стандартного инженерного инструмента. Мой ответ на вопрос OP, по крайней мере в механике твердого тела и инженерном анализе, состоит в том, что XFEM имеет очень узкую и специализированную область применения для анализа трещин и распространения повреждений, для сложных трехмерных геометрий, когда путь трещины не может быть оценен априори .

Тем не менее позвольте мне подчеркнуть, что механика разрушения является очень важной областью в машиностроении: например, современные самолеты безопасны еще и потому, что можно численно прогнозировать повреждения и распространение трещин между интервалами технического обслуживания. XFEM или аналогичные новые методы должны стать важными инструментами в ближайшем будущем.

Стефано М
источник
важность XFEM в механике разрушения показана всеми вами, но есть ли другие области, где необходимо использовать XFEM вместо классической FEM? Например, при росте биопленки граница биопленки в субстрате изменяется со временем. Граница изменчива (движущаяся граница). Если мы используем классическую FEM, сетка должна генерироваться на каждом временном шаге, верно? Это действительно не очень хорошо, особенно в случае с 3D. Или, если мы рассмотрим 2 фазы жидкости с разными градиентами концентрации, кажется, что нужно также использовать XFEM?
Ан-Ти Диньх
Есть много проблем, в которых у вас есть свободные поверхности или движущиеся границы, которые являются трудными для чисто лагранжевых подходов (из-за частого повторного смешивания). XFEM больше о моделировании разрывов внутри доменов. Я знаю о процедурах связывания, которые используют разрыв для представления движущейся границы ... но я не эксперт в этих областях.
Стефано М
Другой, менее связанный с этим вопрос заключается в том, в чем разница между РЭМ с пузырьками P1 и XFEM? Можешь ли ты показать мне?
Ан-Ти ДИНХ
Я бы предложил открыть новый вопрос. Вкратце, P1-bubble / P1 является конкретным конечным элементом (для решения уравнения Стокса), в то время как XFEM является более общей концепцией, касающейся использования функций обогащения для моделирования разрывов, использующих подход Partition of Unity.
Стефано М
6

FEM является подмножеством XFEM. XFEM - это методология обогащения пространств конечных элементов для решения проблем с разрывами (например, разрушения). В классическом FEM для достижения аналогичной точности обычно требуется сложное конформное построение сетки и адаптивное уточнение, когда, как XFEM делает это с одной сеткой, перемещая эту геометрическую сложность в элементы (XFEM очень сложно реализовать, особенно в 3D). Между тем, XFEM приводит к крайне плохо обусловленным матрицам, которые требуют либо прямых решателей, либо очень специализированных многосеточных методов (например, Gerstenberger and Tuminaro (2012) ).

Джед браун
источник
Действительно ли усилия по переносу сложности из сетки в функции формы действительно окупятся в конце? Оба кажутся сложными одинаково.
шухало
Как это часто бывает в вычислительной науке, все зависит от того, кого вы спрашиваете и какую проблему решаете. Многие практикующие XFEM основываются, используя грубую квадратуру вместо одной, адаптированной к разрывам внутри элемента.
Джед Браун