Покажите, что не существует непрерывной функции полезности, которая представляет лексикографические предпочтения [дубликат]

На этот вопрос уже есть ответ здесь:

Отношение лексикографического предпочтения не может быть представлено функцией полезности 2 ответа

Покажите, что не существует непрерывной функции полезности, которая представляет лексикографические предпочтения заданные если и только если или и . $\mathscr{L}$ $(x_1, x_2) \succeq (y_1, y_2)$ $x_1 > y_1$ $x_1 = y_1$ $x_2 > y_2$

mathematical-economics utility preferences Samar
источник

Привет и добро пожаловать в Экономику SE. Если бы вы попытались сообщить нам, с какой частью этого доказательства у вас возникли проблемы, это позволило бы нам лучше помочь вам. Это, и мы обычно не разрешаем распутывать домашние вопросы без каких-либо усилий.

Кицунэ кавалерия

Подсказка: предположим, есть такая полезная функция. Попробуйте найти противоречие с расслоениями и где но .

(x_{1}, x_{2})

$(x_1,x_2)$

(y_{1}, y_{2})

$(y_1,y_2)$

x_{1} > y_{1}

$x_1>y_1$

x_{2} < y_{2}

$x_2<y_2$

Герр К.

Ответы:

Подсказка:

Чтобы обеспечить существование представления функции полезности, мы должны иметь непрерывные предпочтения (и это достаточное условие). Из книги Мас-Коулла:

Отношение предпочтения на непрерывно, если оно сохраняется в определенных пределах. То есть для любой последовательности пар с для всех , и , мы имеем . $\succeq$ $X$ ${(x^n, y^n)}^\infty_{n=1}$ $x^n \succeq y^n$ $n$ $x = \lim_{n \to \infty} x^n$ $y = \lim_{n \to \infty} y^n$ $x \succeq y$

Затем мы посмотрим на определение представления функции полезности.

Функция представляет на если , где . $U$ $\succeq$ $X$ $\forall \ x,y \in X, x \succeq y \iff u(x) \geq u(y)$ $u: X \to \mathbb{R}$

Хотя может быть проще просто показать, что сами предпочтения не являются непрерывными, и, таким образом, отсутствует представление функции полезности, непрерывное или нет.

Кицунэ кавалерия
источник