Как получить эластичность замещения?

Для двух товаров и y эластичность замещения определяется как σ ≡ d log ( $x$$y$

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$$

Меня смущают две вещи:

1. Почему мы просто пишем ? Что мы дифференцируем в отношении?$d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
2. Как я могу использовать это, чтобы показать вышеупомянутое отношение?

Может кто-нибудь объяснить?

Как вывести эластичность замещения

Первый шаг - вспомнить определение дифференциала. Если у вас есть функция , скажем, f ( x 1 , ⋯ , x n ) , то: d f = ∂ $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$$f(x_1,\cdots,x_n)$

$${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$$

Например,

$$d\log v = \frac{1}{v}dv$$

Теперь предположим, что , тогда мы имеемdlog(у/х)=д(у/х$v = \tfrac{y}{x}$

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$$

а для $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

$$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$$

Другими словами, если вы сводите задачу к (1) пониманию определения дифференциала и (2) использованию простого изменения переменной , проблема становится очень простой.

Вы тогда получаете

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$$

В СТОРОНУ:

$d(y/x)$

$$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$$

Это имеет смысл, потому что

$$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

И если вы рассчитываете

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

$d(U_x/U_y)$

$\sigma$

---

Что такое эластичность замещения?

$MRS$