Поиск функции спроса по заданной функции полезности min (x, y)

Меня смущает конкретный момент, связанный с поиском функции спроса. Все проблемы в этом практическом наборе, которые я делаю, связаны с применением метода множителей Лагранжа. Но я не уверен, применимо ли это здесь для этой проблемы.

Настройка проблемы

Рассмотрим потребителя с функцией полезности $u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$, Предположим, нам дано богатство $w$ и цены $p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$ .

Моя работа

Пока не так много дел. Все, что я сделал, это установил бюджетное ограничение $w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$ .

Моя путаница

Я был полностью настроен на установку уравнения множителя Лагранжа, когда внезапно понял, что моя функция полезности является функцией $\min$ . Сначала я думал, что эта функция не дифференцируема. Теперь я думаю, что это не дифференцируемо, но частично дифференцируемо. Я все еще не уверен.

Мое предположение

Я подозреваю, что да $\min$ частично дифференцируется на основе этой темы

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Но я подозреваю, что для моего ответа понадобится кусочный компонент или что-то в этом роде.

Мой вопрос

Здесь применимы множители Лагранжа? Если так, то как я могу определить лагранжиан в кусочных терминах, как я думаю, что мне нужно будет сделать? Если оно не дифференцируемо, как можно получить функцию спроса с помощью функции или ?$\min$$\max$

Нет, вы не должны использовать множители Лагранжа здесь, но здравый смысл. Предположим, что , скажем для конкретности . Пусть . Тогда Таким образом, потребитель может сократить потребление хорошего товара 2, не будучи в худшем положении. С другой стороны, для всех у нас будет , так что потребитель может быть лучше уменьшая потребление второго товара и расходуя освобожденные деньги на первый товар. В оптимуме потребитель не может улучшиться, поэтому для оптимальности требуется . Также ясно, что потребители улучшаются вдоль$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$45 ° луч. Таким образом, вы можете просто использовать в качестве условия оптимальности для подстановки в бюджетное ограничение и обойти множители Лагранжа.$x=y$