Репликация модели пространства состояний

Я пытаюсь повторить результаты Cochrane, 1998 . Большая часть статьи просто описывает теорию, стоящую за Фискальной теорией уровня цен. Но из п. 42 он начинает эконометрический аспект.

Кокрейн использует модель без трения, поэтому ограничение бюджетного потока правительства можно записать так:

$v_{t} = \frac{1}{r_{t+1}}(s_{t+1} + v_{t+1})$(1)

где , т. е. реальная стоимость облигации, выпущенной вт-1,и имеет срок погашения вт. st- это реальный первичный профицит, аrt- реальная норма прибыли по государственным облигациям.$v_{t} = \frac{B_{t-1}(t)}{p_{t}}$$t-1$$t$$s_{t}$$r_{t}$

По теоретическим причинам он дефлирует переменные по потреблению (в отличие от выпуска) и записывает ограничение потока как:

. Если мы определимβ=$\frac{v_{t}}{c_{t}} = \frac{1}{r_{t+1}}\frac{c_{t+1}}{c_{t}} (\frac{s_{t+1}}{c_{t+1}} + \frac{v_{t+1}}{c_{t+1}})$ ограничение потока может быть повторено вперед и выражено как:$\beta = \frac{1}{r_{t+1}} \frac{c_{t+1}}{c_{t}}$

(2)$vc_{t} = E_{t} \sum_{j=1}^{\infty} \beta^{j} sc_{t+j}$

Обратите внимание, что и s c t и просто v c t = v $vc_{t}$$sc_{t}$ иsct=s$vc_{t} = \frac{v_{t}}{c_{t}} - E(\frac{v_{t}}{c_{t}})$. Вот мой первый источник путаницы: почему он вычитает среднее значение из каждой серии? Я понимаю, что это «отклонения от среднего», но, конечно, ограничение потока может быть повторено вперед даже без вычитания среднего?$sc_{t} = \frac{s_{t}}{c_{t}} - E(\frac{s_{t}}{c_{t}})$

Ключевым аспектом фискальной теории является то, что первичные излишки развиваются экзогенно. Таким образом, Кокрейн определяет следующее:

(3) где$sc_{t} = a_{t} + z_{t}$

$a_{t} = \phi_{a}a_{t-1} + \epsilon_{at}$

$z_{t} = \phi_{z} z_{t-1} + \epsilon_{zt}$

обратите внимание, что и z t являются ненаблюдаемыми переменными.$a_{t}$$z_{t}$

Подставляя это в уравнение (2), мы находим, что:

(4)$vc_{t} = \frac{\beta \phi_{a}}{1 - \beta \phi_{a}} a_{t} + \frac{\beta \phi_{z}}{1 - \beta \phi_{z}} z_{t}$

Таким образом, уравнения (3) и (4) описывают наблюдаемые переменные (sc, vc) в терминах ненаблюдаемых (a, z). Мы можем поместить это в форму пространства состояний:

Пусть - вектор наблюдаемых переменных, а X t = ( a t , z t ) ′ - вектор ненаблюдаемых переменных. Тогда система может быть представлена ​​как:$Y_{t} = (sc_{t}, vc_{t})'$$X_{t} = (a_{t},z_{t})'$

и X t = A X t - 1 + ϵ t, где$Y_{t} = BX_{t}$$X_{t} = AX_{t-1} + \epsilon_{t}$

,A=[ϕa00ϕz], ϵt=(ϵat,ϵzt)$B =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \frac{\beta \phi_{a}}{1 - \beta \phi_{a}}& \frac{\beta \phi_{z}}{1 - \beta \phi_{z}} \end{bmatrix}$$A = \begin{bmatrix} \phi_{a} & 0 \\ 0& \phi_{z} \end{bmatrix}$$\epsilon_{t} = (\epsilon_{at}, \epsilon_{zt})'$

Это можно выразить как

(5)$Y_{t} = B(AX_{t-1} + \epsilon_{t}) =BA \underbrace{B^{-1}Y_{t-1}}_{\text{$X_{t-1}$}} + \underbrace{e_{t}}_{\text{$B\epsilon_{t}$}}$

Таким образом, (5) является уравнением приведенной формы, которое можно оценить. Я оценил модель и получен , и ф г , а также приведенную матрицу ковариации формы , из которой я смог сделать вывод о «структурной» ковариационной матрице. Вы можете найти результаты Кокрейна на стр.43.$\phi_{a}$$\phi_{z}$

Следующая часть, где я очень растерялся, говорит:

Правительство выбирает долг так, чтобы инфляция была функцией двух переменных состояния z, a

(6)$dp_{t} = \Delta ln(p_{t}) - E(\Delta ln(p_{t})) = [\alpha_{a} \quad \alpha_{z}] [a_{t} \quad z_{t}]'$

Это структурная модель. Кокрейн тогда говорит

Я выбираю параметры так, чтобы$\alpha$

$dp_{t} = [1 \quad -0.21] [sc_{t} \quad vc_{t}]'$

$dp_{t}$

1. $vc_{t}$$sc_{t}$$v_{t}$$s_{t}$

2. Я не понимаю, как включить уровень цен в модель. Я несколько понимаю структурную модель, уравнение (6). Но как я могу использовать это для моделирования? Мне удалось найти коэффициенты AR (1) и структурную ковариационную матрицу. Но как я могу использовать их для моделирования модели, как это сделал Кокрейн.

Я прошу прощения за длинный пост, если вы хотите получить дополнительную информацию, я рекомендую p.42-46 из бумаги.

Любая обратная связь будет принята с благодарностью.