MLE параметра местоположения в распределении Коши

После центрирования два измерения x и -x можно считать независимыми наблюдениями из распределения Коши с функцией плотности вероятности:

$f(x :\theta) =$ ,-∞<x<$1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Покажите, что если MLE для θ равно 0, но если x 2 > 1, есть два MLE для θ , равные ± $x^2≤ 1$$\theta$$x^2>1$$\theta$$\sqrt {x^2-1}$

Я думаю, чтобы найти MLE, я должен дифференцировать логарифмическую вероятность:

=∑2(xi-θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2(-x-θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ +2(x-θ$2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Так,

=2(x+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

который я затем упростил до

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Теперь я врезался в стену. Возможно, в какой-то момент я ошибся, но в любом случае я не уверен, как ответить на вопрос. Кто-нибудь может помочь?

В ваших расчетах есть математическая опечатка. Условие первого порядка для максимума:

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

If $x^2\leq 1$ then the term in the parenthesis cannot be zero (for real solutions of course), so you are left only with the solution $\hat \theta =0$.

If $x^2 >1$ you have $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ so, apart from the candidate point $\theta =0$ you also get

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

You also have to justify why in this case $\hat \theta =0$ is no longer an MLE.

ADDENDUM

For $x =\pm 0.5$ the graph of the log-likelihood is

while for $x =\pm 1.5$ the graph of the log-likelihood is,

Now all you have to do is to prove it algebraically and then wonder "fine -now which of the two should I choose?"