Формула замкнутой формы для функции распределения, включая асимметрию и эксцесс?

13

Есть ли такая формула? Учитывая набор данных, для которых среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс известны или могут быть измерены, существует ли единая формула, которую можно использовать для расчета плотности вероятности значения, предположительно полученного из вышеупомянутых данных?

distributions pdf kurtosis skewness babelproofreader
источник
Для любого нормального (гауссова) распределения асимметрия равна поскольку она симметрична, а избыточный эксцесс также равен 0 из свойств нормального распределения. Для других распределений среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс недостаточно для определения распределения, хотя обычно можно найти примеры. 00
Генри
1
@ Генри На самом деле, в большинстве семейств -параметров с k ≤ 4 первых четырех моментов, которые можно восстановить по среднему значению, дисперсии, асимметрии и эксцессу, обычно достаточно для определения распределения. kk≤4
whuber
@whuber: Это выглядит для меня как слегка округлое: ограничение распространения семейством, в котором имеется четыре или менее параметров, зная, что четыре статистики распределения часто определяют параметры. Я согласен. Но одна из моих точек зрения заключалась в том, что неограниченно существуют различные возможности распределений с существенно изменяющимися плотностями вероятности в конкретных точках даже с одинаковыми первыми четырьмя моментами в целом.
Генри
1
Я понимаю, что вы имеете в виду, Генри: под «другими распределениями» вы подразумевали в широком смысле слова, в то время как в моем ответе оно понималось в смысле распределений, обычно используемых в статистике (которые редко имеют более четырех параметров). Я думаю, что ваш кодициль - «хотя примеры обычно можно найти» - возможно, предложил мою более узкую интерпретацию.
whuber

Ответы:

12

Таких формул много. Первая успешная попытка решить именно эту проблему была предпринята Карлом Пирсоном в 1895 году, что в конечном итоге привело к системе распределений Пирсона . Это семейство может быть параметризовано по среднему значению, дисперсии, асимметрии и эксцессу. Он включает в себя, как знакомые особые случаи, распределения Normal, Student-t, Chi-square, Inverse Gamma и F. Kendall & Stuart Vol 1 дают подробности и примеры.

Whuber
источник
1

K2-тест Д'Агостино покажет вам, было ли распределение выборки получено из нормального распределения, основанного на асимметрии и эксцессе образца.

Если вы хотите выполнить тест, предполагающий ненормальное распределение (возможно, с высоким перекосом или эксцессом), вам необходимо выяснить, что такое распределение. Вы можете посмотреть на асимметричное нормальное распределение и обобщенное нормальное распределение . Если вы сделаете это, вы рассмотрите и другие дистрибутивы.

Томас Левайн
источник