Можно ли аналитически интегрировать

Во-первых, под аналитической интеграцией, я имею в виду, существует ли правило интеграции для решения этой проблемы, в отличие от числового анализа (например, правил трапеции, Гаусса-Лежандра или Симпсона)?

У меня есть функция где - это функция плотности вероятности логнормального распределения с параметры и . Ниже я сокращу обозначение до и буду использовать для кумулятивной функции распределения.$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$

$$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$$ $\mu$$\sigma$$g(x)$$G(x)$

Мне нужно вычислить интеграл

$$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$$

В настоящее время я делаю это с помощью численного интегрирования с использованием метода Гаусса-Лежандра. Поскольку мне нужно выполнять это большое количество раз, важна производительность. Прежде чем я займусь оптимизацией численного анализа / других частей, я хотел бы знать, есть ли какие-либо правила интеграции для решения этой проблемы.

Я попытался применить правило интеграции по частям, и я достиг этого, где я снова застрял,

1. $\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ .

2. $u=x \implies \rd u = \rd x$

3. $\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$

4. $u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

Я застрял, потому что я не могу оценить $\int G(x) \rd x$ .

Это для программного пакета, который я создаю.

Краткий ответ : нет, это невозможно, по крайней мере, с точки зрения элементарных функций. Однако существуют очень хорошие (и достаточно быстрые!) Численные алгоритмы для вычисления такой величины, и в этом случае они должны быть предпочтительнее любого метода численного интегрирования.

Количество процентов с точки зрения нормального cdf

Интересующая вас величина на самом деле тесно связана с условным средним логнормальной случайной величины. То есть, если распространяется как логнормальное с параметрами и , то, используя вашу нотацию, $X$$\mu$$\sigma$

$$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$$

Чтобы получить выражение для этого интеграла, выполните подстановку . На первый взгляд это может показаться немотивированным. Но обратите внимание, что, используя эту замену, и простым изменением переменных, мы получаем где и .$z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$$x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

$$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$$ $\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

Следовательно, где - стандарт нормальная кумулятивная функция распределения.Φ ( x ) = ∫ x - ∞

$$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$$ $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

Численное приближение

Часто утверждается, что никакого известного выражения замкнутой формы для существует. Однако теорема Лиувилля начала 1800-х годов утверждает нечто более сильное: для этой функции не существует выражения в замкнутой форме . (Доказательство в этом конкретном случае см. В статье Брайана Конрада .)$\Phi(x)$

Таким образом, нам осталось использовать численный алгоритм для аппроксимации желаемой величины. Это можно сделать с точностью до плавающей запятой двойной точности IEEE с помощью алгоритма WJ Cody's. Это стандартный алгоритм для этой задачи, и использование рациональных выражений из довольно низкого порядка, это довольно эффективно, тоже.

Вот ссылка, которая обсуждает приближение:

WJ Cody, Рациональные чебышевские приближения для функции ошибок , Math. Комп. , 1969, с. 631-637.

Это также реализация, используемая как в MATLAB, так и в , среди прочего, в случае, если это облегчает получение примера кода.$R$

Вот связанный вопрос, если вам интересно.