Выборка Гиббса для модели Изинга

11

Домашнее задание:

Рассмотрим 1-ую модель Изинга.

Пусть . это либо -1, либо +1x=(x1,...xd)xi

π(x)ei=139xixi+1

Разработайте алгоритм выборки Гиббса, чтобы генерировать выборки приблизительно из целевого распределения .π(x)

Моя попытка:

Произвольно выбирайте значения (либо -1, либо 1), чтобы заполнить вектор . Так что, возможно, . Так что это .x=(x1,...x40)x=(1,1,1,1,1,1,1,1,...,1)x0

Итак, теперь нам нужно двигаться дальше и сделать первую итерацию. Мы должны нарисовать 40 различных x для отдельно. Так...x1

Нарисуйте изx11π(x1|x20,...,x400)

Нарисуйте изx21π(x2|x11,x30,...,x400)

Нарисуйте изx31π(x3|x11,x21,x40,...,x400)

И т.д..

Таким образом, часть, которая сбивает меня с толку, это то, как мы на самом деле опираемся на условное распределение. Как вступают в игру? Может быть, пример одного розыгрыша прояснит ситуацию.π(x)ei=139xixi+1

Collin
источник

Ответы:

11

Посмотрите на этот случай первым. Отбрасывание сроков, не зависящих от , мы имеем. x1

π(x1x2,,xd)=π(x1,x2,,xd)π(x2,,xd)ex1x2
P(X1=1X2=x2,,Xn=xn)=ex2C
P(X1=1X2=x2,,Xn=xn)=ex2C
ex2C+ex2C=1C=2coshx2
x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

Обобщите его как (обратите внимание на различия; см. Комментарий Ильмари ниже).x2,,x40

Можете ли вы использовать аналитические результаты Ising для проверки вашей симуляции?

Zen
источник
Таким образом, в конечном итоге он зависит только от значения непосредственно перед ним в векторе, т.е. единственный член, который зависит от это , единственный член, который зависит от это и т. Д. Как насчет случая из ? Как мы рисуем это, поскольку условное распределение, кажется, применимо только для 39? x1x2x23x24x40i=1
Коллин
1
@ user2079802: Нет, через вы получите два члена в показателе: . Но все еще достаточно легко оценить это для . x2x39π(xix1,,xi1;xi+1,,xd) exp(xi1xi+xixi+1)xi=±1
Ильмари Каронен