Как распределение может иметь бесконечное среднее значение и дисперсию?

Было бы желательно, чтобы были приведены следующие примеры:

1. Распределение с бесконечным средним и бесконечной дисперсией.
2. Распределение с бесконечным средним и конечной дисперсией.
3. Распределение с конечным средним и бесконечной дисперсией.
4. Распределение с конечным средним и конечной дисперсией.

Это происходит от того, что я вижу эти незнакомые термины (бесконечное среднее, бесконечное отклонение), использованные в статье, которую я читаю, гуглю и читаю ветку на форуме / сайте Уилмотта , и не нахожу это достаточно четким объяснением. Я также не нашел никаких объяснений ни в одном из моих собственных учебников.

Среднее и дисперсия определяются в терминах интегралов. То, что означает, что среднее значение или дисперсия являются бесконечными, является утверждением об ограничивающем поведении для этих интегралов.

Например, среднее значение равно (учитывая это, скажем, как интеграл Стилтьеса); для непрерывной плотности это будет lim a , b → ∞ ∫ b - a x f ( x ) d x (теперь, скажем, как интеграл Римана).$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Это может произойти, например, если хвост «достаточно тяжелый». Рассмотрим следующие примеры для четырех случаев конечного / бесконечного среднего и дисперсии:

1. Распределение с бесконечным средним и бесконечной дисперсией.

   Примеры: распределение Парето с , распределение дзета (2).$\alpha= 1$

2. Распределение с бесконечным средним и конечной дисперсией.

   Невозможно.

3. Распределение с конечным средним и бесконечной дисперсией.

   Примеры: распределение $t_2$ . Парето с .$\alpha=\frac{3}{2}$

4. Распределение с конечным средним и конечной дисперсией.

   Примеры: любой нормальный. Любая униформа (действительно, любая ограниченная переменная имеет все моменты). .$t_3$

Вы также можете иметь распределение, где интеграл не определен, но не обязательно выходит за все конечные границы в пределе.

Эти заметки Чарльза Гейера говорят о том, как вычислить соответствующие интегралы в простых терминах. Похоже, что он имеет дело с интегралами Римана, которые охватывают только непрерывный случай, но более общие определения интеграла (например, Стилтьеса) будут охватывать все случаи, которые вам могут потребоваться [Интеграция Лебега - это форма интегрирования, используемая в теории меры (что лежит в основе вероятности), но суть здесь прекрасно работает с более простыми методами]. Это также покрывает (Раздел 2.5, p13-14), почему "2" невозможно (среднее существует, если существует дисперсия).

Стабильные распределения предоставляют хорошие параметрические примеры того, что вы ищете:

1. бесконечное среднее и дисперсия: $0 < \text{stability parameter} < 1$

2. N / A

3. конечное среднее и бесконечная дисперсия: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$

4. конечное среднее и дисперсия: (гауссовский)$\text{stability parameter} = 2$

Никто не упомянул петербургский парадокс здесь; в противном случае я не буду публиковать в ветке этот старый, который уже имеет несколько ответов, включая один "принятый" ответ.

Если монета приземляется «головой», вы выигрываете один цент.

Если «хвосты», выигрыш удваивается, а затем, если «выигрывает» на втором броске, вы выигрываете два цента.

Если во второй раз «выигрывают», выигрыш снова удваивается, а при «третьем» выигрыше вы выигрываете четыре цента.

И так далее:

$\$1$$\$1$

Ответ в том, что в одном очень редком случае вы получите длинную последовательность хвостов, чтобы выигрыш компенсировал вам огромные расходы, которые вы понесли. Это верно независимо от того, насколько высока цена, которую вы платите за каждый бросок.