Интуитивное объяснение вклада в сумму двух нормально распределенных случайных величин

Если у меня есть две нормально распределенные независимые случайные величины $X$ и $Y$ со средними значениями $\mu_X$ и $\mu_Y$ и стандартными отклонениями $\sigma_X$ и $\sigma_Y$ и я обнаружил, что $X+Y=c$ , то (при условии, что я не допустил никаких ошибок) условное распределение для $X$ и $Y$ заданные $c$ , также обычно распределяются со средствами

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

и стандартное отклонение

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

Это не удивительно , что условные стандартные отклонения являются такими же , как, учитывая $c$ , если один повышается, другой должен уменьшаться на ту же величину. Интересно, что условное стандартное отклонение не зависит от . $c$

Что я не могу обдумать, так это условные средства, где они берут долю избытка пропорциональную исходным отклонениям, а не исходным стандартным отклонениям. $(c - \mu_X - \mu_Y)$

$\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$

Это было спровоцировано вопросом Math.SE

normal-distribution conditional-probability Генри
источник

Ответы:

$\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$ .

$X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ for some constant $\rho$ (that is, all contours are ellipses), their gradients must be parallel, whence there exists $\lambda$ such that

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

enter image description here

It follows immediately that the modes of the conditional distributions (and therefore also the means) are determined by the ratio of the variances, not of the SDs.

This analysis works for correlated $X$ and $Y$ as well and it applies to any linear constraints, not just the sum.

whuber
источник

That is very impressive, and rather more complete than I had been asking for. I would have been satisfied with the diagram and a statement that the tangent to the ellipse does not pass through the centre of the ellipse, so the tangent red point must take disproportionately more from the random variable with a higher standard deviation.

Henry

That was not well worded. What I meant was the line from the centre to the red point is not perpendicular to the tangent.

Henry