Почему геометрическое распределение и гипергеометрическое распределение называются таковыми?

Да, термины относятся к функциям вероятностной массы (pmfs).

2500 лет назад Евклид (в книгах VIII и IV своих стихий ) изучал последовательности длин, имеющие общие пропорции., В какой-то момент такие последовательности стали известны как «геометрические прогрессии» (хотя термин «геометрический» по той же причине можно было бы так же легко применить ко многим другим регулярным рядам, включая те, которые теперь называются «арифметическими»).

Массовая функция вероятности геометрического распределения с параметром образует геометрическую прогрессию $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Здесь общая пропорция . $1-p$

Несколько сотен лет назад обширное обобщение таких прогрессий стало важным в исследованиях эллиптических кривых, дифференциальных уравнений и многих других глубоко взаимосвязанных областей математики. Обобщение предполагает, что относительные пропорции между последовательными членами в положениях и могут изменяться, но это ограничивает природу этого изменения: пропорции должны быть заданной рациональной функцией . Поскольку они идут «за» или «за пределы» геометрической прогрессии (для которой рациональная функция постоянна), они были названы гипергеометрическими от древнегреческого префикса $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ( "Гипер").

Функция вероятности масса гипергеометрической функции с параметрами и имеет вид $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

для подходящего . Следовательно, отношение последовательных вероятностей равно $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

рациональная функция степени . Это помещает вероятности в (определенный вид) гипергеометрической прогрессии. $k$ $(2,2)$

Whuber
источник

Благодарность! Существуют ли другие распределения, чьи pmfs также образуют геометрические или гипергеометрические прогрессии?

Тим

Если pmf формирует геометрическую прогрессию, то это должно быть смещенное, масштабированное и / или усеченное геометрическое распределение. Если он образует гипергеометрическую прогрессию степени (2,2), то имеет место аналогичный вывод. Существуют распределения, связанные с любыми рядами, сумма которых равна конечному значению, и поэтому гипергеометрическое распределение обобщается на многие другие распределения (с использованием различных рациональных функций). У большинства из них нет имен. Единственным исключением является отрицательное биномиальное распределение, чей pmf гипергеометрический степени (1,1).

whuber

Благодарность! Образует ли PMF распределения Пуассона какую-то особую серию / прогрессию? При заданном распределении Пузиона с параметром скорости

тогда

. PMF образует какой-то особый сериал или прогресс?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

Тим

Да, это рациональная функция степени (0,1), поэтому она соответствует общему определению гипергеометрической прогрессии.

whuber

Согласно одному источнику , это связано с тем, что для геометрического распределения pmf (k) является средним геометрическим значением pmf (k-1) и pmf (k + 1). Среднее геометрическое двух чисел A и B равно . Классически эта проблема была интерпретирована как геометрическая задача нахождения длины сторон квадрата с площадью, равной прямоугольнику со сторонами длины A и B. $\sqrt{A B}$

veryshuai
источник

Ваш источник прибегает к тому предположению, о котором я говорил (несколько эллиптически) в начале моего ответа. Интернет полон людей, которые делают то же самое утверждение, но поскольку геометрически одинаково легко найти среднее арифметическое как среднее геометрическое, в конце концов, это свойство (наличие «геометрической» конструкции), по-видимому, ничего не объясняет. Было бы очень интересно найти авторитет, который сможет отследить фактическое историческое использование «геометрических» и «арифметических», чтобы помочь нам понять, как эти термины действительно возникли.

whuber

Почему геометрическое распределение и гипергеометрическое распределение называются таковыми?

Ответы: