Реальные примеры распределений с отрицательной асимметрией

Вдохновленный « реальными примерами общих распределений », интересно , что педагогические примеры люди используют , чтобы продемонстрировать отрицательную асимметрию? Есть много «канонических» примеров симметричных или нормальных распределений, используемых в обучении - даже если такие, как рост и вес, не выдерживают более тщательного биологического исследования! Кровяное давление может быть ближе к норме. Мне нравятся ошибки астрономических измерений - исторический интерес, они интуитивно не более склонны лежать в одном направлении, чем в другом, с небольшими ошибками, скорее, чем большими.

Типичные педагогические примеры положительной асимметрии включают доходы людей; пробег на подержанные автомобили для продажи; время реакции в психологическом эксперименте; цены на жилье; количество страховых случаев от страхового клиента; количество детей в семье. Их физическая разумность часто обусловлена ​​тем, что они ограничены снизу (обычно нулем), при этом низкие значения являются правдоподобными, даже общеизвестными, но очень большие (иногда на порядок выше) значения общеизвестны.

Что касается негативных искажений, мне труднее привести однозначные и яркие примеры, которые молодежная аудитория (старшеклассники) может понять интуитивно, возможно, потому что у меньшего количества реальных распределений есть четкая верхняя граница. Примером безвкусицы, которому меня учили в школе, было «количество пальцев». У большинства людей есть десять, но некоторые теряют один или более в результате несчастных случаев. В результате получилось: «У 99% людей количество пальцев выше среднего»! Полидактилия усложняет проблему, так как десять не является строгой верхней границей; поскольку отсутствующие и лишние пальцы являются редкими событиями, студентам может быть неясно, какой эффект преобладает.

Я обычно использую биномиальное распределение с высоким . Но студенты часто находят, что «количество удовлетворительных компонентов в партии отрицательно искажено» менее интуитивно, чем дополнительный факт, что «количество неисправных компонентов в партии положительно искажено». (Учебник промышленно тематический; я предпочитаю треснутые и неповрежденные яйца в коробке из двенадцати.) Может быть, студенты считают, что «успех» должен быть редким.$p$

Другой вариант заключается в том, чтобы указать, что, если имеет положительный перекос, то имеет отрицательный перекос, но поместить его в практический контекст («отрицательные цены на жилье имеют отрицательный перекос») кажется обреченным на педагогический провал. Хотя обучение эффектам преобразования данных имеет свои преимущества, сначала представляется целесообразным привести конкретный пример. Я бы предпочел тот, который не кажется искусственным, где отрицательный перекос весьма однозначен и для которого жизненный опыт студентов должен дать им понимание формы распределения.$X$$-X$

В Великобритании цена книги. Существует «Рекомендованная розничная цена», которая обычно будет модальной, и практически нигде вам не придется платить больше. Но некоторые магазины будут делать скидки, а некоторые будут делать большие скидки.

Также возраст на пенсии. Большинство людей выходят на пенсию в возрасте 65-68 лет, когда начинается государственная пенсия, очень мало людей работают дольше, но некоторые люди уходят на пенсию в возрасте 50 лет и довольно много в возрасте 60 лет.

Кроме того, число людей, получающих GCSE. Большинство детей поступают на 8-10 и получают 8-10. Небольшое число делает больше. Однако некоторые дети не сдают все свои экзамены, поэтому наблюдается постоянный рост с 0 до 7.

Ник Кокс точно прокомментировал, что «возраст на момент смерти искажен в развитых странах», что, как мне показалось, было отличным примером.

Я обнаружил, что наиболее удобные цифры, на которые я мог возложить руки, пришли из Австралийского бюро статистики ( в частности, я использовал этот лист Excel ), так как их возрастные корзины выросли до 100 лет, а самому старшему австралийскому мужчине было 111 лет , поэтому я чувствовал себя комфортно, отрезав последний контейнер в 110 лет. Другие национальные статистические агентства часто, казалось, останавливались на 95, что делало финальную корзину неудобно широкой. Результирующая гистограмма показывает очень четкий негативный перекос, а также некоторые другие интересные особенности, такие как небольшой пик смертности среди детей младшего возраста, что было бы хорошо подходит для обсуждения и интерпретации в классе.

R код с необработанными данными следует, HistogramTools пакет оказался очень полезным для построения графиков на основе агрегированных данных! Благодаря этому вопросу StackOverflow за пометку.

library(HistogramTools)

deathCounts <- c(565, 116, 69, 78, 319, 501, 633, 655, 848, 1226, 1633, 2459, 3375, 4669, 6152, 7436, 9526, 12619, 12455, 7113, 2104, 241)
ageBreaks <- c(0, 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 110)

myhist <- PreBinnedHistogram(
    breaks = ageBreaks,
    counts = deathCounts,
    xname = "Age at Death of Australian Males, 2012")
plot(myhist)

Вот результаты для сорока спортсменов, которые успешно завершили законный прыжок в отборочном раунде прыжков в длину среди олимпийских мужчин 2012 года, представленные на графике плотности ядра с графиком коврика снизу.

Кажется, намного легче быть на метр позади основной группы конкурентов, чем на метр впереди, что объясняет отрицательную асимметрию.

Я подозреваю, что некоторые из группировок на верхнем торце связаны с квалификацией, нацеленной на атлетов (которая требовала финиша в верхних двенадцати или результатом 8,10 м или выше), а не на максимально длинной дистанции. Тот факт, что два верхних результата были 8,11 метра, чуть выше автоматической отметки квалификации, убедительно свидетельствует о том, что прыжки, завоевавшие медали в финале, были как более длинными, так и более распространенными на 8,31, 8,16 и 8,12 метра. Результаты в финале имели незначительный, незначительный, отрицательный перекос.

Для сравнения, результаты для олимпийского семиборье в Сеуле 1988 года доступны в heptathlonнаборе данных в пакете R HSAUR. В этом соревновании не было отборочного раунда, но каждое событие приносило очки в финальную классификацию; конкуренты женского пола показали резко отрицательную асимметрию в результатах прыжка в высоту и несколько отрицательную асимметрию в прыжке в длину. Интересно, что это не было воспроизведено в событиях метания (выстрел и метание копья), хотя они также являются событиями, в которых большее число соответствует лучшему результату. Итоговые баллы также были несколько отрицательно искажены.

Данные и код

require(moments)
require(ggplot2)

sourceAddress <- "http://www.olympic.org/olympic-results/london-2012/athletics/long-jump-m"

longjump.df <- read.csv(header=TRUE, sep=",", text="
rank,name,country,distance
1,Mauro Vinicius DA SILVA,BRA,8.11 
2,Marquise GOODWIN,USA,8.11
3,Aleksandr MENKOV,RUS,8.09
4,Greg RUTHERFORD,GBR,8.08
5,Christopher TOMLINSON,GBR,8.06
6,Michel TORNEUS,SWE,8.03
7,Godfrey Khotso MOKOENA,RSA,8.02
8,Will CLAYE,USA,7.99
9,Mitchell WATT,AUS,7.99,
10,Tyrone SMITH,BER,7.97,
11,Henry FRAYNE,AUS,7.95,
12,Sebastian BAYER,GER,7.92,
13,Christian REIF,GER,7.92,
14,Eusebio CACERES,ESP,7.92,
15,Aleksandr PETROV,RUS,7.89,
16,Sergey MORGUNOV,RUS,7.87,
17,Mohammad ARZANDEH,IRI,7.84,
18,Ignisious GAISAH,GHA,7.79,
19,Damar FORBES,JAM,7.79,
20,Jinzhe LI,CHN,7.77,
21,Raymond HIGGS,BAH,7.76,
22,Alyn CAMARA,GER,7.72,
23,Salim SDIRI,FRA,7.71,
24,Ndiss Kaba BADJI,SEN,7.66,
25,Arsen SARGSYAN,ARM,7.62,
26,Povilas MYKOLAITIS,LTU,7.61,
27,Stanley GBAGBEKE,NGR,7.59,
28,Marcos CHUVA,POR,7.55,
29,Louis TSATOUMAS,GRE,7.53,
30,Stepan WAGNER,CZE,7.50,
31,Viktor KUZNYETSOV,UKR,7.50,
32,Luis RIVERA,MEX,7.42,
33,Ching-Hsuan LIN,TPE,7.38,
33,Supanara SUKHASVASTI N A,THA,7.38,
35,Boleslav SKHIRTLADZE,GEO,7.26,
36,Xiaoyi ZHANG,CHN,7.25,
37,Mohamed Fathalla DIFALLAH,EGY,7.08,
38,Roman NOVOTNY,CZE,6.96,
39,George KITCHENS,USA,6.84,
40,Vardan PAHLEVANYAN,ARM,6.55,
NA,Luis MELIZ,ESP,NA,
NA,Irving SALADINO,PAN,NA")

roundedSkew <- signif(skewness(longjump.df$distance, na.rm=TRUE), 3)

ggplot(longjump.df, aes(x=distance)) + 
    xlab("Distance in metres") +
    ggtitle("London 2012 Men's Long Jump qualifying round results") +
    geom_rug(size=0.8) + 
    geom_density(fill="steelblue") +
    annotate("text", x=7.375, y=0.0625, colour="white", label=paste("Source:", sourceAddress), size=3) +
    annotate("rect", xmin = 6.25, xmax = 7.25, ymin = 0.5, ymax = 1.125, fill="white") +
    annotate("text", x=6.75, y=1, colour="black", label="Best jump in up to 3 attempts") +
    annotate("text", x=6.75, y=.875, colour="black", label="42 athletes competed") +
    annotate("text", x=6.75, y=.75, colour="black", label="2 athletes had no legal jump") +
    annotate("text", x=6.75, y=.625, colour="black", label=paste("Skewness = ", roundedSkew))


# Results of the top twelve who qualified for the Final were closer to symmetric
skewness(longjump.df$distance[1:12])
# -0.1248782

# Results in the Final (some had 3 jumps, others 6) were only slightly negatively skewed
skewness(c(8.31, 8.16, 8.12, 8.11, 8.10, 8.07, 8.01, 7.93, 7.85, 7.80, 7.78, 7.70))
# -0.08578357

# Compare to Seoul 1988 Heptathlon
require(HSAUR)
skewness(heptathlon)

Баллы на легких тестах или, наоборот, баллы на тестах, к которым ученики особенно мотивированы, имеют тенденцию оставаться искаженными.

В результате, баллы SAT / ACT студентов, поступающих в востребованные колледжи (и даже более того, их GPA), как правило, не совпадают. Есть много примеров на сайте Collegeapps.about.com, например, сюжет о Чикагском университете SAT / ACT и GPA .

Точно так же ГПД выпускников часто отклоняются влево, например, гистограммы ниже ГПД белых и чернокожих выпускников в коммерческом университете, взятые из рис. « Как пять характеристик студентов точно предсказывают коммерческие шансы на окончание университета ». SAGE Open 3.3 (2013): 2158244013497026.

(Нетрудно найти другие похожие примеры.)

В Stochastic Frontier Analysis и, в частности, в его исторически первоначальном фокусе, производство, производственная функция фирмы / производственной единицы в целом, стохастически определяется как

$q$$f(\mathbf x)$$\mathbf x$$u$$w$из-за причин, которые экономист может не знать, но он может измерить с помощью этой установки. Предполагается, что эта случайная величина обычно следует полунормальному или экспоненциальному распределению. Предполагая половину нормальной (по причине), мы имеем

$\sigma_2$

$\varepsilon = u-w$

$0$$s_2$$(-\frac {\sigma_2}{\sigma_u})$$\phi$$\Phi$$\sigma_u =1, \;\; \sigma_2 = 3$

Таким образом, отрицательная асимметрия, я бы сказал, является наиболее естественным моделированием усилий самой человеческой расы: всегда отклоняться от воображаемого идеала - в большинстве случаев отстая от него (отрицательная часть плотности), в то время как в относительно меньшем числе случаев выход за пределы воспринимаемых пределов (положительная часть плотности). Сами студенты могут быть смоделированы как такая производственная функция. Несложно сопоставить симметричное возмущение и одностороннюю ошибку с аспектами реальной жизни. Я не могу себе представить, насколько более интуитивным можно об этом говорить.

Отрицательная асимметрия распространена в гидрологии паводков. Ниже приведен пример кривой частоты наводнений (South Creek на Mulgoa Rd, lat -33.8783, lon 150.7683), которую я взял из «Австралийского дождя и стока» (ARR), руководство по оценке наводнений, разработанное инженерами, Австралия.

В ARR есть комментарий:

При отрицательном перекосе, который характерен для логарифмических значений паводков в Австралии, логарифмическое распределение Пирсона III имеет верхнюю границу. Это дает верхний предел для наводнений, которые можно извлечь из распределения. В некоторых случаях это может вызвать проблемы при оценке паводков с низким AEP, но часто не вызывает проблем на практике. [Извлечено из австралийского дождя и стока - Том 1, Книга IV, Раздел 2.]

Часто считается, что наводнения в определенном месте имеют верхнюю границу, называемую «Вероятное максимальное наводнение» (PMF). Существуют стандартные способы расчета PMF.

Изменения (возврат) цен на активы, как правило, имеют отрицательный перекос - много небольших повышений цен с несколькими большими падениями цен. Похоже, что перекос сохраняется почти для всех типов активов: цены на акции, цены на сырьевые товары и т. Д. Отрицательный перекос можно наблюдать при ежемесячных изменениях цен, но он становится более очевидным, когда вы начинаете смотреть на ежедневные или почасовые изменения цен. Я думаю, что это был бы хороший пример, потому что вы можете показать влияние частоты на перекос.

Более подробная информация: http://www.fusioninvesting.com/2010/09/what-is-skew-and-why-is-it-important/

Гестационный возраст при родах (особенно для живорождений) оставляют искаженным. Младенцы могут родиться живыми очень рано (хотя шансы на дальнейшее выживание малы, когда слишком рано), пик между 36-41 неделями и быстрое снижение. Для женщин в США характерна индукция в течение 41/42 недель, поэтому после этой точки мы обычно не видим много родов.

В рыбном хозяйстве часто встречаются примеры отрицательного перекоса из-за нормативных требований. Например, распределение длины рыбы, выпущенной при рекреационном рыболовстве; потому что иногда минимальная длина рыбы должна быть такой, чтобы ее можно было сохранить, и вся рыба, находящаяся под этим лимитом, выбрасывается. Но так как люди ловят рыбу там, где рыба имеет законную длину, она имеет тенденцию к отрицательному перекосу и режиму в направлении верхнего правового предела. Юридическая длина не представляет собой жесткое ограничение, хотя. Из-за ограничений мешка (или ограничений на количество рыбы, которая может быть возвращена в док), люди все равно будут отказываться от рыбы законного размера, когда они поймали более крупную рыбу.

напр., Sauls, B. 2012. Сводка данных о распределении по размерам и условиях высвобождения популяции красного окуня из опросов о рыболовстве в рекреационных целях в Мексиканском заливе. SEDAR31-DW11. СЕДАР, Северный Чарльстон, Южная Каролина 29 с.

Некоторые отличные предложения были сделаны в этой теме. На тему смертности, связанной с возрастом, показатели отказов машин часто зависят от возраста машин и попадают в этот класс распределений. В дополнение к уже отмеченным финансовым факторам, функции и распределения финансовых потерь, как правило, напоминают эти формы, особенно в случае чрезвычайно значительных потерь, например, согласно оценкам BIS III (Банк международных расчетов) ожидаемого дефицита (ES), или в BIS II значение риска (VAR) в качестве входных данных для нормативных требований для распределения резервов капитала.

Возраст выхода на пенсию в США отрицательно искажен. Большинство пенсионеров старше, а некоторые выходят на пенсию относительно молодыми.

В теории случайных матриц распределение Трейси Уидома перекошено вправо. Это распределение наибольшего собственного значения случайной матрицы. По симметрии, наименьшее собственное значение имеет отрицательное распределение Трейси Уидома и, следовательно, перекошено влево.

Это примерно связано с тем, что случайные собственные значения сродни заряженным частицам, которые отталкиваются друг от друга, и, следовательно, наибольшее собственное значение имеет тенденцию отталкиваться от остальных. Вот преувеличенная картина (взято отсюда ):